Considere as variáveis aleatórias X1, X2, ldots com funções de distribuição F1, F2, ldots. Suponha
que Xn X em distribuição, e a função de distribuição F de X seja contínua. Prove que Fn F na norma sup, i.e.
|Fn-F|infty:=sup x in R|Fn(x)-F(x)| 0

Passo 1

A questão trata de convergência em distribuição de variáveis aleatórias Xn para X, cujo valor de interesse é provar que as funções de distribuição Fn convergem uniformemente para F, isto é, na norma sup. Vamos usar a continuidade de F e resultados de continuidade uniforme em compactos, além do fato de que F(x)to0 quando xto-infty e F(x)to1 quando xto+infty.

Passo 2

Para dado varepsilon>0, use que F é contínua em R e, portanto, uniformemente contínua em qualquer intervalo compacto. Escolha um M>0 tal que
F(-M)1-varepsilon

Passo 3

No intervalo [-M,M], pela continuidade uniforme de F existe de0 tal que sempre que |x-y| temos |F(x)-F(y)|. Subdivida [-M,M] em pontos
-M=x0de modo que xi-xi-1 para todo i=1,dots,k. Como Xnto X em distribuição, temos Fn(xi)to F(xi) para cada i, logo existe N tal que, para n>= N,
max0<= i<= k|Fn(xi)-F(xi)|

Passo 4

Dado xin[-M,M], escolha o índice i tal que xi-1<= x<= xi. Usando a monotonicidade de Fn e de F, obtemos
|Fn(x)-F(x)|<= maxl|Fn(xi-1)-F(xi-1)| ,;|Fn(xi)-F(xi)|r + |F(xi)-F(xi-1)|

Passo 5

Pelo modo como escolhemos xi, o primeiro termo é menor que varepsilon e o segundo também, logo
supxin[-M,M]|Fn(x)-F(x)|<= 2varepsilon para todo n>= N

Passo 6

Para x<-M, temos F(x)<= F(-M) e Fn(x)<= Fn(-M), mas Fn(-M)to F(-M), logo para n grande |Fn(x)-F(x)|<2varepsilon. De modo análogo, para x>M chega-se a |Fn(x)-F(x)|<2varepsilon.

Passo 7

Combinando essas estimativas, para n suficientemente grande
supxin R|Fn(x)-F(x)|<2varepsilon,o que mostra que |Fn-F|inftyto0.

Resposta

|Fn-F|infty=supxin R|Fn(x)-F(x)|0

Exercícios relacionados