Considere as variáveis aleatórias
com funções de distribuição
. Suponha
que
em distribuição, e a função de distribuição
de
seja contínua. Prove que
na norma sup, i.e.
que
Passo 1
A questão trata de convergência em distribuição de variáveis aleatórias
para
, cujo valor de interesse é provar que as funções de distribuição
convergem uniformemente para
, isto é, na norma sup. Vamos usar a continuidade de
e resultados de continuidade uniforme em compactos, além do fato de que
quando
e
quando
.
Passo 2
Para dado
, use que
é contínua em
e, portanto, uniformemente contínua em qualquer intervalo compacto. Escolha um
tal que
Passo 3
No intervalo
, pela continuidade uniforme de
existe
tal que sempre que
temos
. Subdivida
em pontos
Passo 4
Dado
, escolha o índice
tal que
. Usando a monotonicidade de
e de
, obtemos
Passo 5
Pelo modo como escolhemos
, o primeiro termo é menor que
e o segundo também, logo
Passo 6
Para
, temos
e
, mas
, logo para
grande
. De modo análogo, para
chega-se a
.
Passo 7
Combinando essas estimativas, para
suficientemente grande