Convergência em probabilidade e convergência em
Mostre que a convergência em
implica convergência em Probabilidade para todos
. Mostre que o recíproca não é válida. (Prove por exemplo para
).
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em um espaço de probabilidade, se uma sequência de variáveis aleatórias
converge em
para uma variável
(ou seja,
), então ela também converge em probabilidade. Vamos precisar da definição de convergência em probabilidade e da desigualdade de Markov. Depois, mostrar que a recíproca não vale, dando um contraexemplo simples para
.
Passo 2
A desigualdade de Markov diz que, para qualquer variável aleatória não negativa
e qualquer
, vale
Se tomarmos
temos
Como por hipótese
, o lado direito tende a zero, logo
Passo 3
Para ver que a recíproca não vale quando
, considere o espaço de probabilidade
com medida de Lebesgue e defina
Então, para qualquer
,
logo
em probabilidade. Mas
então não há convergência em
.
Resposta
Concluímos que, para todo
, a convergência em
implica convergência em probabilidade (usando a desigualdade de Markov). A recíproca não vale em geral, como mostra o exemplo em
acima.