Convergência em probabilidade e convergência em L^p Mostre que a convergência em L^p implica convergência em Probabilidade para todos p>0. Mostre que o recíproca não é válida. (Prove por exemplo para p=1 ).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em um espaço de probabilidade, se uma sequência de variáveis aleatórias Xn converge em L^p para uma variável X (ou seja, El[|Xn - X|^pr]to0), então ela também converge em probabilidade. Vamos precisar da definição de convergência em probabilidade e da desigualdade de Markov. Depois, mostrar que a recíproca não vale, dando um contraexemplo simples para p=1.

Passo 2

A desigualdade de Markov diz que, para qualquer variável aleatória não negativa Y e qualquer c>0, vale
P(Y>c)<=E[Y]c
Se tomarmos
Y=|Xn - X|^p, c=varepsilon^p,
temos
P(|Xn - X|>varepsilon)=Pl(|Xn - X|^p>varepsilon^pr)<=El[|Xn - X|^pr]varepsilon^p
Como por hipótese E[|Xn - X|^p]to0, o lado direito tende a zero, logo
P(|Xn - X|>varepsilon)to0, \nmostrando que Xn converge em probabilidade para X.

Passo 3

Para ver que a recíproca não vale quando p=1, considere o espaço de probabilidade [0,1] com medida de Lebesgue e defina
Xn(omega)=n,&omegain[0,1/n],0,&caso contrário á
Então, para qualquer varepsilon>0,
P(|Xn|>varepsilon)=P(omegain[0,1/n])=1nto0,
logo Xnto0 em probabilidade. Mas
El[|Xn|r]=ncdot1n=1notto0,
então não há convergência em L^1.

Resposta

Concluímos que, para todo p>0, a convergência em L^p implica convergência em probabilidade (usando a desigualdade de Markov). A recíproca não vale em geral, como mostra o exemplo em L^1 acima.

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