Realizamos o seguinte experimento aleatório. Colocamos bolas azuis e bolas vermelhas em uma bolsa. Nós escolhemos 10 bolas aleatoriamente (sem substituição) da bolsa. Deixe ser o número de bolas azuis. Realizamos esse experimento para . Prove que .
Passo 1
A questão coloca 2n bolas (n azuis e n vermelhas) e retira 10 sem reposição. O que cai são k azuis, ou seja, X_n tem distribuição hipergeométrica. O conteúdo aqui é entender a distribuição hipergeométrica e mostrar que, quando n→∞, ela vira binomial com parâmetros (10,1/2). Vamos usar fórmulas de combinações e limites para isso.
Passo 2
A distribuição exata de X_n é dada por
P(Xn = k) = binomnkbinomn10 - kbinom2n10,
para k=0,1,2,…,10. Aqui usamos que há binomnk modos de escolher k azuis e binomn10-k modos de escolher as outras 10−k vermelhas, dividido pelos binom2n10 totais.
Passo 3
Vamos reescrever cada combinação como produto de fatores. Por exemplo,
binomnk = n(n-1)cdots(n-k+1)k!,
e similarmente
binomn10-k = n(n-1)cdots(n-9+k)(10-k)!,
binom2n10 = 2n(2n-1)cdots(2n-9)10!
Substituindo em P(X_n=k) e agrupando, obtemos
P(Xn=k) = 10!k!,(10-k)! times prodi=0^k-1n-i2n-i times prodj=0^9-kn-j2n-(k+j)
Passo 4
Agora note que, para cada i fixo, quando n→∞,
n-i2n-i = n(1 - i/n)2n(1 - i/(2n)) to 12
Como só há um número finito de fatores (no máximo 10) nessa produto, o limite do produto é (1/2)^10. Assim
O resultado acima é exatamente a massa de probabilidade de uma Bin(10,1/2). Logo, mostramos que, para cada k=0,1,…,10, P(X_n=k) → P(Y=k) em que Y~Bin(10,1/2). Isso implica X_n converge em distribuição para Bin(10,1/2).