Considere as variáveis aleatórias a valores inteiros X1, X2, ldots, e uma variável aleatória X. Mostre que Xn X na distribuição se e somente se
P(Xn=k) P(X=k) para todo k in Z

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para variáveis aleatórias inteiras Xn e X, a convergência em distribuição de Xn para X é equivalente à convergência ponto a ponto das probabilidades P(Xn=k)toP(X=k) para todo kinZ. Vamos usar a definição de convergência em distribuição (via portmanteau) e as propriedades de variáveis discretas.

Passo 2

Primeiro, assuma que Xn converge em distribuição para X. Pelo teorema de portmanteau temos para qualquer conjunto fechado C:
limsupntoinftyP(Xnin C)<=P(Xin C)
Tomando o conjunto C=k, que é fechado em R, vem
limsupntoinftyP(Xn=k)<=P(X=k)
Por outro lado, para o conjunto aberto
O=(k-tfrac12,,k+tfrac12)
temos P(Xnin O)=P(Xn=k) e P(Xin O)=P(X=k). O teorema de portmanteau diz que
liminfntoinftyP(Xnin O)>=P(Xin O)
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liminfntoinftyP(Xn=k)>=P(X=k)
Juntando os dois limites, concluímos que
limntoinftyP(Xn=k)=P(X=k)
para todo kinZ.

Passo 3

Agora suponha que P(Xn=k)toP(X=k) para todo kinZ. Seja x um ponto de continuidade de F(x)=P(X<= x). Como X só assume valores inteiros, todos os xnotinZ são pontos de continuidade. Então existe um inteiro k tal que k. Para esse x temos
Fn(x)=P(Xn<= x)=sumj<= kP(Xn=j)
e, quando ntoinfty, cada P(Xn=j)toP(X=j). Assim
limntoinftyFn(x)=sumj<= kP(X=j)=P(X<= x)=F(x)
Isso mostra que a função de distribuição de Xn converge pontualmente à de X em todos os pontos de continuidade de F, i.e.
Xn converge em distribuição para X.

Resposta

Portanto, para variáveis aleatórias inteiras, temos
X_n\xrightarrow{d}X se e somente se \mathbf{P}(X_n=k)\to\mathbf{P}(X=k)\quad \forall k\in\mathbb{Z}.

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