Considere as variáveis aleatórias a valores inteiros
, e uma variável aleatória
. Mostre que
na distribuição se e somente se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para variáveis aleatórias inteiras
e
, a convergência em distribuição de
para
é equivalente à convergência ponto a ponto das probabilidades
para todo
. Vamos usar a definição de convergência em distribuição (via portmanteau) e as propriedades de variáveis discretas.
Passo 2
Primeiro, assuma que
converge em distribuição para
. Pelo teorema de portmanteau temos para qualquer conjunto fechado
:
Tomando o conjunto
, que é fechado em
, vem
Por outro lado, para o conjunto aberto
temos
e
. O teorema de portmanteau diz que
logo
Juntando os dois limites, concluímos que
para todo
.
Passo 3
Agora suponha que
para todo
. Seja
um ponto de continuidade de
. Como
só assume valores inteiros, todos os
são pontos de continuidade. Então existe um inteiro
tal que
. Para esse
temos
e, quando
, cada
. Assim
Isso mostra que a função de distribuição de
converge pontualmente à de
em todos os pontos de continuidade de
, i.e.
converge em distribuição para
.
Resposta
Portanto, para variáveis aleatórias inteiras, temos
X_n\xrightarrow{d}X se e somente se \mathbf{P}(X_n=k)\to\mathbf{P}(X=k)\quad \forall k\in\mathbb{Z}.
X_n\xrightarrow{d}X se e somente se \mathbf{P}(X_n=k)\to\mathbf{P}(X=k)\quad \forall k\in\mathbb{Z}.