2-Suponha que Xn xrightarrowD X e Yn xrightarrowP c, onde c é uma constante. Prove que Xn Yn xrightarrowD c X

Passo 1

Nesse exercício, temos duas sequências de variáveis aleatórias: Xn que converge em distribuição para X, ou seja, Xn xrightarrowD X, e Yn que converge em probabilidade para uma constante c, ou seja, Yn xrightarrowP c. Nosso objetivo é mostrar que o produto Xn Yn converge em distribuição para cX. O tema principal aqui é o Lema de Slutsky e o Teorema do Mapeamento Contínuo.

Passo 2

Antes de tudo, vamos relembrar rapidamente as definições:
  • Convergência em distribuição: dizemos que Xn xrightarrowD X se, para todo ponto de continuidade x da função de distribuição de X, vale
FXn(x) = Pr(Xn <= x) to FX(x)
  • Convergência em probabilidade: dizemos que Yn xrightarrowP c se, para todo varepsilon > 0, vale
Pr(|Yn - c| > varepsilon) to 0

Passo 3

Agora, um resultado fundamental (que é parte do Lema de Slutsky) é que, se Xn xrightarrowD X e Yn xrightarrowP c, então o vetor bidimensional (Xn,Yn) converge em distribuição para (X,c). Em outras palavras, para toda função limitadamente contínua f: R^2to R, temos
El[f(Xn,Yn)r] to El[f(X,c)r]

Passo 4

Feito isso, podemos aplicar o Teorema do Mapeamento Contínuo: note que a função
g: R^2 to R, g(x,y) = x,y
é contínua em todo R^2. Logo, se (Xn,Yn) xrightarrowD (X,c), então
g(Xn,Yn) = Xn Yn xrightarrowD g(X,c) = c,X

Resposta

Portanto, concluímos que Xn Yn xrightarrowD cX.

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