Prove a Desigualdade de Cauchy-Schwarz: dadas duas variáveis aleatórias Xe Y , temos
e a igualdade ocorre se e somente se
, para alguma constante
.
Passo 1
O enunciado pede para provar que para duas variáveis aleatórias X e Y vale a desigualdade de Cauchy-Schwarz
além de mostrar que a igualdade ocorre exatamente quando X é proporcional a Y. Vamos usar propriedades de expectativa e o fato de que a esperança de um quadrado é sempre não negativa.
Passo 2
Para começar a prova, considere a expressão
para um parâmetro real t. Como
quase certamente, temos
para todo
.
Passo 3
Agora expandimos o quadrado dentro da expectativa. Usando linearidade de
e a propriedade
para constante a, obtemos
Isso é um polinômio quadrático em t com coeficiente líder
.
Passo 4
Como
para todo t, o discriminante desse polinômio deve ser não positivo. O discriminante é
Dividindo por 4 e rearranjando, chegamos a
Tirando raiz em ambos os lados vem
que é exatamente a desigualdade de Cauchy-Schwarz.
Passo 5
Para caracterizar o caso de igualdade, note que precisamos ter discrimante zero, ou seja
Além disso, como
e um quadrático com discrimante zero toca o eixo em um único ponto, isso só acontece se
quase certamente, onde
Logo, X =
Y quase certamente, ou seja, X e Y são proporcionais, o que define exatamente o caso de igualdade.
Resposta
|\mathbf{E}[XY]| \le \sqrt{\mathbf{E}[X^2] ,\mathbf{E}[Y^2]}, com igualdade se e somente se X = αY para alguma constante α \in ℝ.