Prove a Desigualdade de Cauchy-Schwarz: dadas duas variáveis aleatórias Xe Y , temos
|E X Y| <= raizE[X^2] E[Y^2],
e a igualdade ocorre se e somente se X=alpha Y, para alguma constante alpha in R.

Passo 1

O enunciado pede para provar que para duas variáveis aleatórias X e Y vale a desigualdade de Cauchy-Schwarz
|E[XY]| <= raizE[X^2],E[Y^2],
além de mostrar que a igualdade ocorre exatamente quando X é proporcional a Y. Vamos usar propriedades de expectativa e o fato de que a esperança de um quadrado é sempre não negativa.

Passo 2

Para começar a prova, considere a expressão
f(t)=El[(X - tY)^2r]
para um parâmetro real t. Como (X - tY)^2>=0 quase certamente, temos f(t)>=0 para todo tinR.

Passo 3

Agora expandimos o quadrado dentro da expectativa. Usando linearidade de E e a propriedade E[aZ]=aE[Z] para constante a, obtemos
f(t)=E[X^2] - 2t,E[XY] + t^2,E[Y^2]
Isso é um polinômio quadrático em t com coeficiente líder E[Y^2]>=0.

Passo 4

Como f(t)>=0 para todo t, o discriminante desse polinômio deve ser não positivo. O discriminante é
D = (-2E[XY])^2 - 4,E[Y^2],E[X^2] =4l(E[XY]^2 - E[X^2],E[Y^2]r) <= 0
Dividindo por 4 e rearranjando, chegamos a
E[XY]^2 <= E[X^2] ,E[Y^2]
Tirando raiz em ambos os lados vem
|E[XY]| <= raizE[X^2],E[Y^2] ,
que é exatamente a desigualdade de Cauchy-Schwarz.

Passo 5

Para caracterizar o caso de igualdade, note que precisamos ter discrimante zero, ou seja
E[XY]^2 = E[X^2] ,E[Y^2]
Além disso, como f(t)>=0 e um quadrático com discrimante zero toca o eixo em um único ponto, isso só acontece se X - t0Y = 0 quase certamente, onde
t0 = E[XY]E[Y^2]
Logo, X = t0Y quase certamente, ou seja, X e Y são proporcionais, o que define exatamente o caso de igualdade.

Resposta

|\mathbf{E}[XY]| \le \sqrt{\mathbf{E}[X^2] ,\mathbf{E}[Y^2]}, com igualdade se e somente se X = αY para alguma constante α \in ℝ.

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