Deixe
serem variáveis aleatórias i.i.d. com média
e variância
e deixe ser uma variável aleatória tomando valores nos inteiros com média
e variância
, com N independente de todas as
. Deixe
.
Calcule
.
Calcule
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas
com média
e variância
, e uma variável inteira
com média
e variância
, independente dos
. Definimos
e queremos calcular
. Vamos usar a Lei da Variância Total, que afirma:
Passo 2
Para a parte
: dado
, temos
, soma de
variáveis i.i.d., logo
Assim
Passo 3
Para a parte
: dado
,
então
Passo 4
Juntando as duas parcelas pela Lei da Variância Total, obtemos