Deixe X1, X2, ldots serem variáveis aleatórias i.i.d. com média mu e variância sigma^2 e deixe ser uma variável aleatória tomando valores nos inteiros com média m e variância v, com N independente de todas as Xi. Deixe S=X1+ldots+XN= sumi=1^infty Xi 1N>i.
Calcule Var(S).

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas X1,X2,dots com média mu e variância sigma^2, e uma variável inteira N com média m e variância v, independente dos Xi. Definimos S=sumi=1^N Xi e queremos calcular Var(S). Vamos usar a Lei da Variância Total, que afirma:
Var(S) = El[Var(Smid N)r] + Varl(E[Smid N]r)

Passo 2

Para a parte E[Var(Smid N)]: dado N=n, temos S=sumi=1^n Xi, soma de n variáveis i.i.d., logo
Var(Smid N=n) = nsigma^2
Assim
E[Var(Smid N)] = E[nsigma^2] = sigma^2 E[N] = sigma^2 m

Passo 3

Para a parte Var(E[Smid N]): dado N=n,
E[Smid N=n] = nmu,
então
Var(E[Smid N]) = Var(nmu) = mu^2 Var(N) = mu^2 v

Passo 4

Juntando as duas parcelas pela Lei da Variância Total, obtemos
Var(S) = sigma^2 m + mu^2 v

Resposta

sigma^2 m + mu^2 v

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