1- Suponha que Xn xrightarrowr X para r >= 1. Mostre que .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se estamos na convergência em momento de ordem r (isto é, E|Xn - X|^r to 0), então os momentos de ordem r também convergem: E|Xn|^r to E|X|^r. Vamos usar a desigualdade de Minkowski no espaço L^r e a continuidade da função potência.

Passo 2

Definimos a norma em L^r por |Z|r = (E|Z|^r)^1/r. A desigualdade triangular em L^r (Minkowski) diz que
|Xn|r = |X + (Xn - X)|r <= |X|r + |Xn - X|r
Invertendo os papéis de Xn e X obtemos também
|X|r <= |Xn|r + |Xn - X|r
Combinando as duas desigualdades, concluímos
l||Xn|r - |X|rr| <= |Xn - X|r

Passo 3

Como estamos assumindo convergência em L^r, temos
|Xn - X|r = (E|Xn - X|^r)^1/r longrightarrow 0
Logo da desigualdade acima segue que
|Xn|r longrightarrow |X|r

Passo 4

Agora basta usar que a função f(y)=y^r é contínua em [0,infty). Como
|Xn|r to |X|r,
pela continuidade temos
(|Xn|r)^r to (|X|r)^r,
o que significa
E|Xn|^r to E|X|^r

Resposta

E|Xn|^r to E|X|^r.

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