O enunciado pede para mostrar que, se estamos na convergência em momento de ordem r (isto é, ), então os momentos de ordem r também convergem: . Vamos usar a desigualdade de Minkowski no espaço e a continuidade da função potência.
Passo 2
Definimos a norma em por . A desigualdade triangular em (Minkowski) diz que
Invertendo os papéis de e obtemos também
Combinando as duas desigualdades, concluímos
Passo 3
Como estamos assumindo convergência em L^r, temos
|Xn - X|r = (E|Xn - X|^r)^1/r longrightarrow 0
Logo da desigualdade acima segue que
|Xn|r longrightarrow |X|r
Passo 4
Agora basta usar que a função f(y)=y^r é contínua em [0,infty). Como