Prove que se Xn xrightarrow2 X para r >= 1. Mostre que .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se uma sequência de variáveis aleatórias Xn converge em L^2 para X (isto é, Xn xrightarrow2 X), então as variâncias convergem: Var[Xn]to Var[X]. Vamos usar definições de convergência em L^2, de esperança e de variância, além da desigualdade de Cauchy–Schwarz.

Passo 2

Precisamos lembrar que convergência em L^2 significa
El[(Xn - X)^2r];xrightarrow[ntoinfty];0
E a variância é dada por
Var[Y] = E[Y^2] - (E[Y])^2

Passo 3

Primeiro, mostremos que E[Xn]toE[X]. Pela desigualdade de Cauchy–Schwarz, temos
l|E[Xn] - E[X]r| = l|E[Xn - X]r| <= raizEl[(Xn - X)^2r]
Como E[(Xn - X)^2]to0, conclui-se que E[Xn]toE[X].

Passo 4

Agora, mostremos que E[Xn^2]toE[X^2]. Note que
l|E[Xn^2] - E[X^2]r| = l|E[Xn^2 - X^2]r| = l|E[(Xn - X)(Xn + X)]r|
Aplicando Cauchy–Schwarz:
l|E[(Xn - X)(Xn + X)]r| <= raizE[(Xn - X)^2] ;raizE[(Xn + X)^2]
Como Xn converge em L^2, tanto E[(Xn - X)^2]to0 quanto E[Xn^2] permanece limitado. Logo o produto acima vai a zero, e obtemos E[Xn^2]toE[X^2].

Passo 5

Finalmente, usando a definição de variância,
Var[Xn] = E[Xn^2] - (E[Xn])^2 e Var[X] = E[X^2] - (E[X])^2,
ea convergência de E[Xn^2]toE[X^2] e de E[Xn]toE[X] implica imediatamente
Var[Xn];xrightarrow[ntoinfty];Var[X]

Resposta

Como convergência em L² implica convergência de primeira e segunda momento, concluímos que Var[Xn]toVar[X].

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