Mostre que a função abaixo é uma função de probabilidade e determine o valor esperado de
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que uma certa função é uma função de probabilidade e, depois, encontrar o valor esperado da variável $ X $. A matéria envolvida aqui é probabilidade, especificamente sobre funções de probabilidade e valor esperado. Para resolver isso, vamos precisar lembrar que uma função é de probabilidade se todas as suas probabilidades forem positivas e se a soma delas for igual a 1. Depois, para achar o valor esperado, vamos calcular uma média ponderada dos valores possíveis de $ X $.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função dada é realmente uma função de probabilidade. Para isso, precisamos checar dois pontos:
- Todas as probabilidades devem ser maiores ou iguais a 0.
- A soma de todas as probabilidades deve ser igual a 1.
Vamos olhar para a função:
-
Probabilidades positivas: Todos os valores de $ \mathrm{P}(X=x) $ são $ 1/64 $, $ 9/64 $, $ 27/64 $ ou 0. Todos são maiores ou iguais a 0. Certinho!
-
Soma das probabilidades:
P(X=x)
Como a soma total deu 1, tá tudo certo. Então, essa função realmente é uma função de probabilidade.
Passo 3
Agora, vamos calcular o valor esperado de $ X $, que é basicamente uma média ponderada dos valores que $ X $ pode assumir, ponderada pelas suas probabilidades. A fórmula para o valor esperado $ E[X] $ é:
Vamos calcular cada termo:
-
Para $ x = 0 $:
X -
Para $ x = 1 $:
E[X] -
Para $ x = 2 $:
E[X] = sumx x cdot P(X=x) -
Para $ x = 3 $:
x = 0
Agora, somamos todos esses valores:
Podemos simplificar essa fração dividindo numerador e denominador por 16:
Então,
Resposta
A função dada é uma função de probabilidade válida e o valor esperado de $ X $ é $ 2,25 $.