Mostre que a função abaixo é uma função de probabilidade e determine o valor esperado de X.
P(X=x)= 1 / 64, & se x=0 9 / 64, & se x=1 27 / 64, & se x=2 ou x=3 0, & casos contrários á

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que uma certa função é uma função de probabilidade e, depois, encontrar o valor esperado da variável $ X $. A matéria envolvida aqui é probabilidade, especificamente sobre funções de probabilidade e valor esperado. Para resolver isso, vamos precisar lembrar que uma função é de probabilidade se todas as suas probabilidades forem positivas e se a soma delas for igual a 1. Depois, para achar o valor esperado, vamos calcular uma média ponderada dos valores possíveis de $ X $.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função dada é realmente uma função de probabilidade. Para isso, precisamos checar dois pontos:
  1. Todas as probabilidades devem ser maiores ou iguais a 0.
  2. A soma de todas as probabilidades deve ser igual a 1.
Vamos olhar para a função:
P(X=x)= 1 / 64, & se x=0 9 / 64, & se x=1 27 / 64, & se x=2 ou x=3 0, & casos contrários á
  • Probabilidades positivas: Todos os valores de $ \mathrm{P}(X=x) $ são $ 1/64 $, $ 9/64 $, $ 27/64 $ ou 0. Todos são maiores ou iguais a 0. Certinho!
  • Soma das probabilidades:
    P(X=x)
Como a soma total deu 1, tá tudo certo. Então, essa função realmente é uma função de probabilidade.

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor esperado de $ X $, que é basicamente uma média ponderada dos valores que $ X $ pode assumir, ponderada pelas suas probabilidades. A fórmula para o valor esperado $ E[X] $ é:
X
Vamos calcular cada termo:
  • Para $ x = 0 $:
    X
  • Para $ x = 1 $:
    E[X]
  • Para $ x = 2 $:
    E[X] = sumx x cdot P(X=x)
  • Para $ x = 3 $:
    x = 0
Agora, somamos todos esses valores:
0 cdot 164 = 0
Podemos simplificar essa fração dividindo numerador e denominador por 16:
x = 1
Então,
1 cdot 964 = 964

Resposta

A função dada é uma função de probabilidade válida e o valor esperado de $ X $ é $ 2,25 $.

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