Seja X uma variável aleatória que assume apenas valores inteiros e tem como função de distribuição de probabilidades definida por:
f(x)=P(X=x)=ll k x^2, & se x=1,2,3 k(8-x)^2, & se x=4,5,6,7 0, & casos contrários , com k constante á
Determine:
(a) O valor da constante k.
(b) A probabilidade P(X=4 mid X <= 4).

Passo 1

Beleza! Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma variável aleatória $ X $ que só pode assumir valores inteiros de 1 a 7. A função de distribuição de probabilidade $ f(x) $ está definida de duas formas diferentes dependendo do valor de $ x $. Nosso objetivo aqui é:
(a) Encontrar o valor da constante $ k $.
(b) Calcular a probabilidade $ \mathrm{P}(X=4 \mid X \leq 4) $.
Para resolver isso, vamos precisar entender que a soma de todas as probabilidades deve ser igual a 1, já que estamos lidando com uma distribuição de probabilidade.

Passo 2

Vamos começar pelo item (a): encontrar o valor de $ k $.
Sabemos que a soma de todas as probabilidades $ f(x) $ para todos os valores possíveis de $ x $ deve ser igual a 1. Então, temos:
k
Vamos substituir $ f(x) $ de acordo com a definição dada:
f(x)

Passo 3

Agora, vamos calcular cada termo:
1^2 = 1
2^2 = 4
3^2 = 9
(8-4)^2 = 16
(8-5)^2 = 9
(8-6)^2 = 4
(8-7)^2 = 1
Somando todos esses valores:
1 + 4 + 9 + 16 + 9 + 4 + 1 = 44
Então, nossa equação fica:
k cdot 44 = 1

Passo 4

Para encontrar $ k $, basta dividir ambos os lados da equação por 44:
k

Passo 5

Agora, vamos para o item (b): calcular $ \mathrm{P}(X=4 \mid X \leq 4) $.
Isso significa que queremos a probabilidade de $ X $ ser igual a 4 dado que $ X $ é menor ou igual a 4. Usamos a fórmula de probabilidade condicional:
P(X=4 mid X <= 4)

Passo 6

Primeiro, vamos calcular $ \mathrm{P}(X=4) $:
P(X=4)

Passo 7

Agora, vamos calcular $ \mathrm{P}(X \leq 4) $, que é a soma das probabilidades de $ X = 1, 2, 3, 4 $:
P(X <= 4)

Passo 8

Finalmente, substituindo esses valores na fórmula da probabilidade condicional:
P(X=4 mid X <= 4) = 4111522 = 411 times 2215 = 815

Resposta

(a) O valor da constante $ k $ é $ \frac{1}{44} $.
(b) A probabilidade $ \mathrm{P}(X=4 \mid X \leq 4) $ é $ \frac{8}{15} $.

Exercícios relacionados