Considere a variável aleatória contínua X \sim N(100,25).
(a) Calcule as seguintes probabilidades:
i. P(100 \leq X \leq 106);
ii. P(89 \leq X \leq 107);
iii. P(X \leq 102);
iv. P(X \geq 108);
(b) Em cada item abaixo, encontre o número real z_{c} tal que:
i. P\left(X \leq z_{c}\right)=0,70.
ii. P\left(X>z_{c}\right)=0,65.
iii. P\left(-z_{c} \leq X \leq z_{c}\right)=0,95.

Passo 1

O enunciado diz que X é contínua com distribuição normal de média \mu=100 e variância \sigma^2=25, logo desvio padrão \sigma=5.
Conteúdo: usar padronização em variável Z\sim N(0,1) e tabela da normal padrão para calcular probabilidades e quantis.

Passo 2

Usamos a padronização
Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{X - 100}{5},
de modo que cálculos de P(a\le X\le b), P(X\le c) ou P(X\ge d) tornam-se P\bigl(\tfrac{a-100}{5}\le Z\le\tfrac{b-100}{5}\bigr), P\bigl(Z\le\tfrac{c-100}{5}\bigr), etc., e então usamos \Phi(\cdot).

Passo 3

i. Para P(100\le X\le 106) temos
P\bigl(100\le X\le 106\bigr) = P\Bigl(0\le Z\le \tfrac{106-100}{5}\Bigr) = P(0\le Z\le 1{,}2) = \Phi(1{,}2)-\Phi(0).
Como \Phi(1{,}2)\approx0{,}8849 e \Phi(0)=0{,}5,
P(100\le X\le 106)\approx0{,}8849-0{,}5=0{,}3849.

Passo 4

ii. Para P(89\le X\le 107) padronizamos:
P\bigl(89\le X\le 107\bigr) = P\Bigl(\tfrac{89-100}{5}\le Z\le \tfrac{107-100}{5}\Bigr) = P(-2{,}2\le Z\le1{,}4) = \Phi(1{,}4)-\Phi(-2{,}2).
Como \Phi(1{,}4)\approx0{,}9192 e \Phi(-2{,}2)=1-\Phi(2{,}2)\approx1-0{,}9861=0{,}0139,
P(89\le X\le107)\approx0{,}9192-0{,}0139=0{,}9053.

Passo 5

iii. Para P(X\le102) temos
P(X\le102) = P\Bigl(Z\le\tfrac{102-100}{5}\Bigr) = P(Z\le0{,}4) = \Phi(0{,}4)\approx0{,}6554.

Passo 6

iv. Para P(X\ge108)
P(X\ge108) = P\Bigl(Z\ge\tfrac{108-100}{5}\Bigr) = P(Z\ge1{,}6) = 1-\Phi(1{,}6)\approx1-0{,}9452=0{,}0548.

Passo 7

(b i) Queremos P(X\le z_c)=0{,}70.
Padronizando,
\Phi\Bigl(\tfrac{z_c-100}{5}\Bigr)=0{,}70 \quad\Longrightarrow\quad \tfrac{z_c-100}{5}=\Phi^{-1}(0{,}70)\approx0{,}5244,
logo
z_c=100+5\cdot0{,}5244\approx102{,}62.

Passo 8

(b ii) Queremos P(X> z_c)=0{,}65, ou seja P(X\le z_c)=0{,}35.
\Phi\Bigl(\tfrac{z_c-100}{5}\Bigr)=0{,}35 \quad\Longrightarrow\quad \tfrac{z_c-100}{5}=\Phi^{-1}(0{,}35)\approx-0{,}3853,
logo
z_c=100+5\cdot(-0{,}3853)\approx98{,}07.

Passo 9

(b iii) Queremos um intervalo simétrico em torno da média contendo 95\% da massa, isto é
P\bigl(100 - z_c \le X \le 100 + z_c\bigr)=0{,}95.
Padronizando:
P\Bigl(-\tfrac{z_c}{5}\le Z\le\tfrac{z_c}{5}\Bigr)=0{,}95 \quad\Longrightarrow\quad \tfrac{z_c}{5}=\Phi^{-1}(0{,}975)\approx1{,}96,
portanto
z_c=5\cdot1{,}96=9{,}8.

Resposta

(a i) 0{,}3849
(a ii) 0{,}9053
(a iii) 0{,}6554
(a iv) 0{,}0548
(b i) z_c\approx102{,}62
(b ii) z_c\approx98{,}07
(b iii) z_c=9{,}8 (intervalo 100\pm9{,}8)

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