A duração (em horas) de uma lâmpada é uma variável aleatória T que segue o modelo Exponencial com parâmetro \alpha=1 / 1000. Calcule:
b) Qual é a duração média de uma lâmpada nas condições acima, isto é, qual é a média \mathrm{E}(\mathrm{T}) ?
c) Qual é a variância de T ?
i) Se queimar antes de 1000 horas;
ii. Durar entre 800 e 1200 horas.

Passo 1

O enunciado diz que T é uma variável aleatória com distribuição Exponencial de parâmetro \alpha = 1/1000. Precisamos calcular:
  • (b) a média \mathrm{E}(T);
  • (c) a variância \mathrm{Var}(T);
  • (i) a probabilidade de queimar antes de 1000 h, P(T<1000);
  • (ii) a probabilidade de durar entre 800 h e 1200 h, P(800<T<1200).

Passo 2

A média de uma Exponencial de parâmetro \alpha é dada por
\mathrm{E}(T)=\frac{1}{\alpha}.
Substituindo \alpha=1/1000,
\mathrm{E}(T)=1000\\ (\text{horas}).

Passo 3

A variância de uma Exponencial de parâmetro \alpha é
\mathrm{Var}(T)=\frac{1}{\alpha^{2}}.
Com \alpha=1/1000,
\mathrm{Var}(T)=1000^{2}=1\,000\,000\\ (\text{horas}^{2}).

Passo 4

A função de distribuição acumulada da Exponencial é
P(T<t)=1-e^{-\alpha t}.
Para t=1000:
P(T<1000)=1-e^{-(1/1000)\cdot1000}=1-e^{-1}\approx0,6321.

Passo 5

Para 800<T<1200 usamos
P(800<T<1200)=P(T>800)-P(T>1200) =e^{-\alpha\cdot800}-e^{-\alpha\cdot1200}.
Substituindo \alpha=1/1000:
P(800<T<1200)=e^{-0,8}-e^{-1,2}\approx0,4493-0,3010=0,1483.

Resposta

b) \mathrm{E}(T)=1000 horas.
c) \mathrm{Var}(T)=1\,000\,000 horas ^2.
i) P(T<1000)=1-e^{-1}\approx0,6321.
ii) P(800<T<1200)=e^{-0,8}-e^{-1,2}\approx0,1483.

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