A função densidade de probabilidade do peso líquido, em gramas, de um pacote de solvente é f(x)=2,0, para 49,75<x<50,25 gramas, e f(x)=0 nos demais números reais.
(a) Determine a probabilidade de um pacote pesar mais de 50 gramas.
(b) Quanto solvente está contido em 90 \% de todos os pacotes?

Passo 1

O enunciado descreve uma variável aleatória X\) com função densidade \[f(x)= \begin{cases} 2,0,&49,75<x<50,25,\\\\ 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}
Isso é uma distribuição uniforme no intervalo (49,75,50,25)\]. Precisamos calcular 1. \(\displaystyle P(X>50),
2. o valor q tal que P(X\le q)=0,90.

Passo 2

Para a parte (a), usamos
P(X>50)=\int_{50}^{50,25}f(x)\,\mathrm{d}x
Como f(x)=2,0 nesse intervalo,
P(X>50)=2,0\cdot\bigl(50,25-50\bigr) =2,0\cdot0,25 =0,50.

Passo 3

Para a parte (b), primeiro montamos a função distribuição acumulada em 49,75\le x\le50,25:
F(x)=P(X\le x)=\int_{49,75}^{x}2,0\,\mathrm{d}t =2,0\,(x-49,75).
Queremos F(q)=0,90, ou seja
2,0\,(q-49,75)=0,90 \quad\Longrightarrow\quad q-49,75=0,45 \quad\Longrightarrow\quad q=50,20.

Resposta

(a) 0,50
(b) 50,20 gramas

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