A duração (em horas) de uma lâmpada é uma variável aleatória T que segue o modelo Exponencial com parâmetro \alpha=1 / 1000.
a) Calcule a probabilidade de uma lâmpada:
i) Se queimar antes de 1000 horas;
ii. Durar entre 800 e 1200 horas.
b) Qual é a duração média de uma lâmpada nas condições acima, isto é, qual é a média \mathrm{E}(\mathrm{T}) ?
c) Qual é a variância de T ?

Passo 1

O enunciado diz que a duração T de uma lâmpada (em horas) segue uma distribuição Exponencial com parâmetro \alpha = 1/1000. Precisamos calcular:
1. P(T<1000) 2. P(800 < T < 1200) 3. A média \mathrm{E}(T) 4. A variância \mathrm{Var}(T)
Para isso vamos usar:
– A função distribuição acumulada (CDF) da Exp( \alpha):
F(t)=1 - e^{-\alpha t}.
– As fórmulas \mathrm{E}(T)=1/\alpha e \mathrm{Var}(T)=1/\alpha^2.

Passo 2

A função distribuição acumulada de T é
F(t)=1 - e^{-\alpha t}.
Substituindo \alpha=1/1000 e t=1000,
P(T<1000)=F(1000)=1 - e^{-(1/1000)\cdot1000}=1 - e^{-1}.

Passo 3

Para a probabilidade de T ficar entre 800 e 1200, usamos
P(800<T<1200)=F(1200)-F(800).
Logo,
P(800<T<1200)=(1 - e^{-1,2}) - (1 - e^{-0,8}) = e^{-0,8} - e^{-1,2}.

Passo 4

A média de uma Exp( \alpha) é
\mathrm{E}(T)=\frac{1}{\alpha}=\frac{1}{1/1000}=1000\text{ horas}.

Passo 5

A variância de uma Exp( \alpha) é
\mathrm{Var}(T)=\frac{1}{\alpha^2}=\bigl(1000\bigr)^2=10^{6}\text{ horas}^2.

Resposta

a)
i) P(T<1000)=1 - e^{-1}.
ii) P(800<T<1200)=e^{-0,8} - e^{-1,2}.
b) \mathrm{E}(T)=1000 horas.
c) \mathrm{Var}(T)=10^{6} hora s^{2}.

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