Em uma empresa, a duração de reuniões via chamada de vídeos (em minutos) segue o modelo exponencial com parâmetro 1 / 3. Observandose uma amostra aleatória de 100 dessas chamadas de vídeos, qual será a probabilidade de elas, em média, não ultrapassarem cinco minutos? (Dica. Use o Teorema Central do Limite).

Passo 1

O enunciado diz que as durações seguem uma distribuição exponencial com parâmetro \lambda = \tfrac{1}{3}. Logo
\mu = \frac{1}{\lambda} = 3,\quad \sigma^2 = \frac{1}{\lambda^2} = 9.
Coletamos uma amostra aleatória de tamanho n=100 e queremos
P\bigl(\bar X \le 5\bigr),
onde \bar X é a média amostral. Vamos aplicar o Teorema Central do Limite.

Passo 2

Pelo Teorema Central do Limite, para n grande temos
\bar{X} \approx N\Bigl(\mu,\;\tfrac{\sigma^{2}}{n}\Bigr) = N\!\Bigl(3,\;\tfrac{9}{100}\Bigr).
Assim o desvio-padrão de \bar{X} é
\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{3}{10} = 0,3.

Passo 3

Padronizando,
P(\bar X \le 5) = P\!\Bigl(\frac{\bar X - 3}{0,3} \le \frac{5 - 3}{0,3}\Bigr) = P\bigl(Z \le 6{,}666\ldots\bigr),
onde Z\sim N(0,1).

Passo 4

Consultando a tabela da normal padrão ou usando calculadora,
P\bigl(Z \le 6{,}667\bigr)\approx 0{,}99999999\approx 1.
Ou seja, praticamente certa a média amostral ficar abaixo de cinco minutos.

Resposta

A probabilidade buscada é aproximadamente 0{,}99999999 (praticamente 1).

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