Sabe-se que 80 \% dos trabalhadores do estado na área de saúde são desfavoráveis às novas políticas implementadas no SUS (Sistema Unico de Saúde). Se dez trabalhadores forem escolhidos ao acaso desta população, encontre a probabilidade de que:
Menos do que dois sejam contrários às novas políticas.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Informação: 80\% dos trabalhadores são contrários às novas políticas do SUS. Vou escrever isso como p=0,8 (probabilidade de um trabalhador, escolhido ao acaso, ser contrário).
  • Informação: serão escolhidos 10 trabalhadores ao acaso. Vou escrever isso como n=10.
  • Pergunta: qual é a probabilidade de que menos do que dois sejam contrários às novas políticas? Em termos de contagem, isso significa calcular a probabilidade de que o número de contrários, que chamo de X, seja menor que 2; isto é, queremos \Pr(X<2)=\Pr(X=0)+\Pr(X=1).

Passo 2

Por que podemos somar \Pr(X=0) e \Pr(X=1)? Porque “menos do que dois” significa exatamente “zero ou um” trabalhador contrário. Cada trabalhador escolhido é um ensaio com duas possibilidades (contrário ou não), a probabilidade de ser contrário é a mesma para cada um ( p=0,8) e as escolhas podem ser consideradas independentes. Nessa situação o número X de contrários em n ensaios segue a fórmula (a seguir eu explico cada termo):
\Pr(X=k)=\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{\,n-k}.
Explicando cada símbolo:
  • \Pr(X=k) é a probabilidade de exatamente k contrários.
  • \binom{n}{k} é o número de maneiras de escolher quais k dos n são contrários (lê-se “combinatório n sobre k”).
  • p^{k} é a probabilidade de que esses k efetivamente sejam contrários.
  • (1-p)^{\,n-k} é a probabilidade de que os outros n-k não sejam contrários.
  • No nosso caso n=10 e p=0,8.

Passo 3

Calculemos \Pr(X=0). Substituindo na fórmula com k=0:
\Pr(X=0)=\binom{10}{0}\,(0,8)^{0}\,(1-0,8)^{10}.
Agora simplificando cada termo:
  • \binom{10}{0}=1 (há exatamente uma forma de escolher zero pessoas),
  • (0,8)^{0}=1,
  • 1-0,8=0,2.
    Portanto
\Pr(X=0)=(0,2)^{10}.

Passo 4

Calculemos \Pr(X=1). Substituindo na fórmula com k=1:
\Pr(X=1)=\binom{10}{1}\,(0,8)^{1}\,(0,2)^{9}.
Agora simplificando:
  • \binom{10}{1}=10,
  • (0,8)^{1}=0,8.
    Logo
\Pr(X=1)=10\cdot 0,8\cdot (0,2)^{9}.

Passo 5

Somamos os dois casos para obter a probabilidade pedida:
\Pr(X<2)=\Pr(X=0)+\Pr(X=1)=(0,2)^{10}+10\cdot 0,8\cdot(0,2)^{9}.
Podemos fatorar (0,2)^{9} para simplificar:
\Pr(X<2)=(0,2)^{9}\Big(0,2+10\cdot 0,8\Big).
Dentro do parêntese 0,2+10\cdot 0,8=0,2+8=8,2, então
\Pr(X<2)=(0,2)^{9}\cdot 8,2.

Passo 6

É interessante também escrever isso em frações exatas, para quem vai fazer sem calculadora. Como 0,2=\dfrac{1}{5} e 0,8=\dfrac{4}{5}, temos:
\Pr(X<2)=\left(\dfrac{1}{5}\right)^{10}+10\cdot\dfrac{4}{5}\cdot\left(\dfrac{1}{5}\right)^{9}.
Fatorando \left(\dfrac{1}{5}\right)^{9}:
\Pr(X<2)=\left(\dfrac{1}{5}\right)^{9}\left(\dfrac{1}{5}+10\cdot\dfrac{4}{5}\right) =\left(\dfrac{1}{5}\right)^{9}\cdot\dfrac{41}{5} =\dfrac{41}{5^{10}}.
E 5^{10}=9\,765\,625, portanto a forma exata é
\Pr(X<2)=\dfrac{41}{9\,765\,625}.

Passo 7

Vamos um pouco ao número decimal para dar uma ideia prática do tamanho dessa probabilidade. Dividindo a fração obtemos aproximadamente
\Pr(X<2)\approx 0,0000041984.
Interpretação rápida e motivadora: essa probabilidade é extremamente pequena — faz sentido: se 80\% das pessoas são contrárias, é muito improvável que, em 10 sorteados, haja 0 ou 1 contrários.

Resposta

\dfrac{41}{9\,765\,625}\approx 0,0000041984

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