Sabe-se que
dos trabalhadores do estado na área de saúde são desfavoráveis às novas políticas implementadas no SUS (Sistema Unico de Saúde). Se dez trabalhadores forem escolhidos ao acaso desta população, encontre a probabilidade de que:
Menos do que dois sejam contrários às novas políticas.
Menos do que dois sejam contrários às novas políticas.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Informação:
dos trabalhadores são contrários às novas políticas do SUS. Vou escrever isso como (probabilidade de um trabalhador, escolhido ao acaso, ser contrário). - Informação: serão escolhidos
trabalhadores ao acaso. Vou escrever isso como . - Pergunta: qual é a probabilidade de que menos do que dois sejam contrários às novas políticas? Em termos de contagem, isso significa calcular a probabilidade de que o número de contrários, que chamo de
, seja menor que ; isto é, queremos .
Passo 2
Por que podemos somar
e
? Porque “menos do que dois” significa exatamente “zero ou um” trabalhador contrário. Cada trabalhador escolhido é um ensaio com duas possibilidades (contrário ou não), a probabilidade de ser contrário é a mesma para cada um (
) e as escolhas podem ser consideradas independentes. Nessa situação o número
de contrários em
ensaios segue a fórmula (a seguir eu explico cada termo):
Explicando cada símbolo:
-
é a probabilidade de exatamente contrários. -
é o número de maneiras de escolher quais dos são contrários (lê-se “combinatório n sobre k”). -
é a probabilidade de que esses efetivamente sejam contrários. -
é a probabilidade de que os outros não sejam contrários. - No nosso caso
e .
Passo 3
Calculemos
. Substituindo na fórmula com
:
Agora simplificando cada termo:
-
(há exatamente uma forma de escolher zero pessoas), -
, -
.
Portanto
Passo 4
Calculemos
. Substituindo na fórmula com
:
Agora simplificando:
-
, -
.
Logo
Passo 5
Somamos os dois casos para obter a probabilidade pedida:
Podemos fatorar
para simplificar:
Dentro do parêntese
, então
Passo 6
É interessante também escrever isso em frações exatas, para quem vai fazer sem calculadora. Como
e
, temos:
Fatorando
:
E
, portanto a forma exata é
Passo 7
Vamos um pouco ao número decimal para dar uma ideia prática do tamanho dessa probabilidade. Dividindo a fração obtemos aproximadamente
Interpretação rápida e motivadora: essa probabilidade é extremamente pequena — faz sentido: se
das pessoas são contrárias, é muito improvável que, em 10 sorteados, haja 0 ou 1 contrários.