Considere a variável aleatória discreta com a seguinte função distribuição acumulada:
F(X)= a, & se x<0 1 / 6, & se 0 <= x<2 1 / 4, & se 2 <= x<4 b, & se 4 <= x<6 c, & se x >= 6
a) Sabendo que P(X=6)=1 / 2, determine, justificando, os valores de a , b e c.
b) Calcule o valor esperado e a variância da variável aleatória Y=2-3 X4 Resp.: a) a=0, b=1 / 2, e c=1; b) -2,625 e 2,797 .

Passo 1

Temos uma variável aleatória discreta cujo função de distribuição acumulada é dada por
F(x)= a, & x<0, dfrac16, & 0<= x<2, dfrac14, & 2<= x<4, b, & 4<= x<6, c, & x>=6
Na parte (a) vamos usar as propriedades de que F(-infty)=0, F(+infty)=1 e que cada salto de F num ponto x vale P(X=x). Na parte (b) definimos Y=(2-3X)/4 e usamos transformações de esperança e variância.

Passo 2

Para achar a, note que
a=F(0^-)=F(-infty)=0
Para achar c, usamos F(+infty)=1, logo
c=1
Sabendo que
P(X=6)=F(6)-F(6^-)=c - b = tfrac12,
temos
b = c - tfrac12 = 1 - tfrac12 = tfrac12

Passo 3

Agora extraímos a função massa de probabilidade pelos saltos de F:
P(X=0)=F(0^+)-F(0^-)=tfrac16-0=tfrac16,
P(X=2)=F(2^+)-F(2^-)=tfrac14-tfrac16=tfrac112,
P(X=4)=F(4^+)-F(4^-)=b-tfrac14=tfrac12-tfrac14=tfrac14,
P(X=6)=tfrac12

Passo 4

Calculamos primeiro E[X] e E[X^2]:
E[X]=0cdottfrac16 + 2cdottfrac112 + 4cdottfrac14 + 6cdottfrac12 = tfrac16 + 1 + 3 = tfrac256,
E[X^2]=0^2cdottfrac16 + 2^2cdottfrac112 + 4^2cdottfrac14 + 6^2cdottfrac12 = tfrac412 + 4 + 18 = tfrac673
Logo
Var(X)=E[X^2] - l(E[X]r)^2 = tfrac673 - l(tfrac256r)^2 = tfrac17936

Passo 5

Para Y=(2-3X)/4 usamos
E[Y]=2-3E[X]4 =2-3cdot2564 =-tfrac218=-2,625,
Var(Y)=l(-34r)^2Var(X) =916cdot17936 =17964approx2,797

Resposta

a) a=0,;b=tfrac12,;c=1
b) ,E[Y]=-2,625 e Var(Y)=2,797

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