Em uma determinada localidade, a distribuição de renda em mil u.m. é uma variável aleatória X com função densidade.
f(x)= 110 x+110, & para 0 <= x <= 2 -340 x+920, & para 2<x <= 6 0, & para x<0 ou x>6
a) Qual a renda média nesta localidade?
b) Escolhida uma pessoa ao acaso, qual a probabilidade de sua renda ser superior a 3.000,00 u.m?
c) Estabeleça a função de distribuição acumulada. Resp.: a) 2,5; b) 0,3375 ;
c) F(X)= 0, & se x<0 x^220+x10, & se 0 <= x <= 2 -3 x^280+920 x-2880, & se 2<x <= 6 1, & se x>6

Passo 1

O enunciado descreve uma variável aleatória
Queremos a) a renda média , b) e c) a função de distribuição acumulada .

Passo 2

Para a renda média usamos
E[X] =integral0^2xl(tfracx10+tfrac110r),dx +integral2^6xl(-tfrac3x40+tfrac920r),dx
Calculando cada integral:
integral0^2l(tfracx^210+tfracx10r)dx =l[tfracx^330+tfracx^220r]0^2 =tfrac830+tfrac420 =tfrac715,
integral2^6l(-tfrac3x^240+tfrac9x20r)dx =l[-tfrac3x^3120+tfrac9x^240r]2^6 =2,
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E[X] =2+tfrac715 =tfrac3715approx2,47 mil um
(aproximando, approx2,5 mil u.m.).

Passo 3

Para P(X>3) notamos que 3 cai na segunda parte da densidade, então
P(X>3) =integral3^6l(-tfrac3x40+tfrac920r)dx =l[-tfrac3x^280+tfrac9x20r]3^6 =0,3375

Passo 4

A função de distribuição acumulada é
  • Se x<0, então
F(x)=0
  • Se 0<= x<=2,
F(x) =integral0^xl(tfract10+tfrac110r)dt =x^220+x10
  • Se 2<x<=6,
F(x) =F(2)+integral2^xl(-tfrac3t40+tfrac920r)dt =-3x^280+9x20-2880
  • Se x>6, então
F(x)=1

Resposta

a) E[X]=3715approx 2,5 mil u.m.
b) P(X>3)=0,3375.
c)
F(x)= 0,&x<0,[6pt] x^220+x10,&0<= x<= 2,[6pt] -3x^280+9x20-2880,&2<x<= 6,[6pt] 1,&x>6 ]

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