Um estudo do peso dos cérebros de homens suecos constatou que o peso X é uma variável aleatória, com média 1400 gramas e desvio-padrão de 20 gramas. Determine o número positivo a e o número b tais que Y=a cdot X+b tenha média 0 e desvio-padrão 1 Resp.: a=1 / 20 ; b=-70.

Passo 1

O enunciado nos dá uma variável aleatória X que representa o peso de cérebros, com média
mu = E[X] = 1400
gramas e desvio-padrão
sigma = sd(X) = 20
gramas. Queremos escolher números a>0 e b tais que a variável transformada
Y = a,X + b
tenha média zero e desvio-padrão igual a 1. O conteúdo aqui é a propriedade de transformações lineares de variáveis aleatórias.

Passo 2

Recordamos as fórmulas para Y = a,X + b:
E[Y] = a,E[X] + b = a,mu + b,
Var(Y) = a^2,Var(X)Longrightarrow sd(Y)=|a|,sigma

Passo 3

Impondo E[Y]=0, temos
a,mu + b = 0 Longrightarrow b = -,a,mu

Passo 4

Impondo sd(Y)=1, obtemos
|a|,sigma = 1
Como queremos a>0, vem
a = 1sigma

Passo 5

Substituindo mu=1400 e sigma=20:
a = 120, b = -,a,mu = -120times 1400 = -70

Resposta

a=tfrac120
b=-70

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