Os valores abaixo representam a distribuição de probabilidade de D , a procura diária de certo produto. Calcule E(D) e V(D) :
D 1 2 3 4 5
c|c|c|c|c|c hline D & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 hline $P(D=d)$ & 0,1 & 0,1 & 0,3 & 0,3 & 0,2 hline 0,1 0,1 0,3 0,3 0,2
a) Calcule E(D) e V(D);
b) Estabeleça a função de distribuição acumulada. Resp.: a) E(D)=3,4 ; b) V(D)=1,44;
c) F(X)= 0, & se d<1 0,1, & se 1 <= d<2 0,2, & se 2 <= d<3 0,5, & se 3 <= d<4 0,8, & se 4 <= d<5 1, & se d >= 5

Passo 1

O enunciado dá uma variável aleatória discreta D com possíveis valores
din1,2,3,4,5
e probabilidades
P(D=d)=0,1;;0,1;;0,3;;0,3;;0,2
respectivamente. Pede-se (a) a esperança E(D), (b) a variância V(D) e (c) a função de distribuição acumulada F(d)=P(D<= d). Usaremos
E(D)=sumd d,P(D=d),
V(D)=E(D^2)-[E(D)]^2,
e a definição de CDF para variável discreta.

Passo 2

Calcular E(D) via
E(D) =sumd=1^5d,P(D=d) =1cdot0,1+2cdot0,1+3cdot0,3+4cdot0,3+5cdot0,2 =0,1+0,2+0,9+1,2+1,0 =3,4

Passo 3

Primeiro calculamos E(D^2):
E(D^2) =sumd=1^5d^2,P(D=d) =1^2cdot0,1+2^2cdot0,1+3^2cdot0,3+4^2cdot0,3+5^2cdot0,2 =0,1+0,4+2,7+4,8+5,0 =13,0
Então
V(D) =E(D^2)-[E(D)]^2 =13,0-(3,4)^2 =13,0-11,56 =1,44

Passo 4

Montar a função de distribuição acumulada F(d)=P(D<= d). Somando as probabilidades até cada ponto:
F(d)= 0, & d<1, 0,1, & 1<= d<2, 0,2, & 2<= d<3, 0,5, & 3<= d<4, 0,8, & 4<= d<5, 1, & d>=5

Resposta

E(D)=3,4
V(D)=1,44
F(d)= 0, & d<1, 0,1, & 1<= d<2, 0,2, & 2<= d<3, 0,5, & 3<= d<4, 0,8, & 4<= d<5, 1, & d>=5

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