O número de carros vendidos semanalmente num stand é uma variável aleatória com a
seguinte função de probabilidade:
X 1 2 3 4
c
a) Encontre o valor de c.
b) Determine a função de distribuição de X .
c) Calcule a probabilidade do número de carros vendidos não chegar a 4 , sabendo que este valor é superior a 1 .
d) Se os custos fixos semanais são de 30 unidades monetárias (u.m.) quando são vendidos 2 ou menos carros e 15 u.m. quando se vende mais de 2 carros e, além disso, por cada carro vendido há um lucro de 35 u.m., determine a função de distribuição da receita líquida semanal.
Resp.: a) ; b)
X 1 2 3 4
c) ; d)
r 5 40 90 125

Passo 1

O enunciado diz que X é uma v.a. discreta com suporte 1,2,3,4 e
P(X=1)=c, P(X=2)=tfracc2, P(X=3)=tfracc3, P(X=4)=tfracc4.
Pede:
a) achar c;
b) determinar a distribuição (pmf) de X;
c) calcular P(X<4mid X>1);
d) achar a distribuição da receita líquida semanal R, sabendo que o custo fixo é 30 u.m. se X<=2 e 15 u.m. se X>2, e que há lucro de 35 u.m. por carro vendido.

Passo 2

Para a v.a. discreta, soma das probabilidades deve ser 1. Assim
c + c2 + c3 + c4 = 1
Calculamos
1 + tfrac12 + tfrac13 + tfrac14 = 12+6+4+312 = 2512,
logo
ccdot2512=1 Longrightarrow c=1225

Passo 3

Substituindo c=tfrac1225 obtemos a pmf de X:
P(X=1)=tfrac1225,
P(X=2)=tfrac625,
P(X=3)=tfrac425,
P(X=4)=tfrac325.

Passo 4

Queremos
P(X<4mid X>1) = P(2<= X<=3)P(X>1) = P(X=2)+P(X=3)P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)
Numerador = tfrac625+tfrac425=tfrac1025,
denominador = tfrac625+tfrac425+tfrac325=tfrac1325.
Portanto
P(X<4mid X>1) = 10/2513/25 = 1013

Passo 5

Definimos a receita líquida
Logo para cada é função bijetora de neste caso,
onde . Assim
,
,
,
.

Resposta

(a) c=tfrac1225
(b) P(X=1)=tfrac1225, P(X=2)=tfrac625, P(X=3)=tfrac425, P(X=4)=tfrac325
(c) P(X<4mid X>1)=tfrac1013
(d) Valores de R e suas probabilidades:
P(R=5)=tfrac1225, P(R=40)=tfrac625, P(R=90)=tfrac425, P(R=125)=tfrac325

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