Considere X uma variável aleatória com distribuição Binomial com média 12,00 e variância 2,40. Responda ao que se pede. Utilize quatro casas decimais para arredondamento.
a. O valor do paråmetro \theta é de: \square
b. Determine P(X>11) \square

Passo 1

O enunciado diz que X\sim \mathrm{Binomial}(n,\theta) tem média \mu=12{,}00 e variância \sigma^2=2{,}40. O que precisamos: usar as fórmulas
\mu = n\,\theta,
\sigma^2 = n\,\theta\,(1-\theta),
para encontrar n e \theta, e depois calcular P(X>11).

Passo 2

Da relação \mu = n\,\theta = 12 e \sigma^2 = n\,\theta\,(1-\theta)=2{,}4, fazemos
\frac{\sigma^2}{\mu} = \frac{n\,\theta\,(1-\theta)}{n\,\theta} = 1-\theta \quad\Longrightarrow\quad 1-\theta = \frac{2{,}4}{12{,}0} = 0{,}2
logo \theta = 0{,}8. Em seguida n = \mu/\theta = 12{,}0/0{,}8 = 15.

Passo 3

Queremos P(X>11). Como X é discreta,
P(X>11) = \sum_{k=12}^{15} \binom{15}{k}\theta^k(1-\theta)^{15-k} = 1 - P(X\le11).

Passo 4

Calculamos cada termo com \theta=0{,}8 e 1-\theta=0{,}2:
P(X=k)=\binom{15}{k}(0{,}8)^k(0{,}2)^{15-k}.
Para k=12,13,14,15 obtemos aproximadamente
P(X=12)\approx0{,}2501,\quad P(X=13)\approx0{,}2309,\quad P(X=14)\approx0{,}1319,\quad P(X=15)\approx0{,}0352.

Passo 5

Somando esses valores:
P(X>11)\approx0{,}2501+0{,}2309+0{,}1319+0{,}0352=0{,}6482.

Resposta

a. \theta = 0{,}8000
b. P(X>11)\approx0{,}6482

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