(3.) Considere a variável aleatória
que representa o custo de aquisição de peças por um atacadista. Sabe-se que
, conforme a distribuição da questäo 2 .
O gerente financeiro decide analisar o risco dos custos usando a função
, que penaliza mais fortemente os valores elevados.
(a) Mostre que a funçāo
e convexa.
(b) Aplique a desigualdade de Jensen para comparar
.
(c) Interprete: o valor esperado do quadrado do custo é maior ou menor que o quadrado do valor esperado?
(d) Relacione esse resultado com a variância da variável
.
O gerente financeiro decide analisar o risco dos custos usando a função
(a) Mostre que a funçāo
(b) Aplique a desigualdade de Jensen para comparar
(c) Interprete: o valor esperado do quadrado do custo é maior ou menor que o quadrado do valor esperado?
(d) Relacione esse resultado com a variância da variável
Passo 1
O enunciado dá a variável aleatória
com
e define
. Vamos usar conceitos de convexidade, desigualdade de Jensen e variância para responder (a), (b), (c) e (d).
Passo 2
Para mostrar que
é convexa, calculamos as derivadas de segunda ordem. Temos
e
.
Como para todo
, concluímos que
é convexa.
Como
Passo 3
Pela desigualdade de Jensen, que diz que para função convexa
vale
temos
Passo 4
Interpretando, o valor esperado do quadrado do custo,
, é maior ou igual ao quadrado do valor esperado,
. Se
não for determinística, a desigualdade é estrita.
Passo 5
A variância de
é definida por
Como já vimos que
, segue que
. Isso relaciona diretamente a desigualdade de Jensen ao fato de a variância ser não-negativa.
Resposta
(a) A função
é convexa pois sua segunda derivada
.
(b) Aplicando Jensen obtém-se .
(c) O valor esperado do quadrado do custo é maior (ou igual) que o quadrado do valor esperado.
(d) Esse resultado equivale a .
(b) Aplicando Jensen obtém-se
(c) O valor esperado do quadrado do custo é maior (ou igual) que o quadrado do valor esperado.
(d) Esse resultado equivale a