(3.) Considere a variável aleatória C que representa o custo de aquisição de peças por um atacadista. Sabe-se que R(C)=1,17, conforme a distribuição da questäo 2 .
O gerente financeiro decide analisar o risco dos custos usando a função g(c)=c^2, que penaliza mais fortemente os valores elevados.
(a) Mostre que a funçāo g(c)=c^2 e convexa.
(b) Aplique a desigualdade de Jensen para comparar E[C^2] com(E[C])^2.
(c) Interprete: o valor esperado do quadrado do custo é maior ou menor que o quadrado do valor esperado?
(d) Relacione esse resultado com a variância da variável C.

Passo 1

O enunciado dá a variável aleatória C com E[C]=1,17 e define g(c)=c^2. Vamos usar conceitos de convexidade, desigualdade de Jensen e variância para responder (a), (b), (c) e (d).

Passo 2

Para mostrar que g(c)=c^2 é convexa, calculamos as derivadas de segunda ordem. Temos
g'(c)=2c e
g''(c)=2.
Como g''(c)=2>0 para todo c, concluímos que g é convexa.

Passo 3

Pela desigualdade de Jensen, que diz que para função convexa g vale
E[g(C)] >= gl(E[C]r),
temos
E[C^2] = E[g(C)] >= gl(E[C]r) = l(E[C]r)^2

Passo 4

Interpretando, o valor esperado do quadrado do custo, E[C^2], é maior ou igual ao quadrado do valor esperado, l(E[C]r)^2. Se C não for determinística, a desigualdade é estrita.

Passo 5

A variância de C é definida por
Var(C) = E[C^2] - l(E[C]r)^2
Como já vimos que E[C^2]>=(E[C])^2, segue que Var(C)>=0. Isso relaciona diretamente a desigualdade de Jensen ao fato de a variância ser não-negativa.

Resposta

(a) A função g(c)=c^2 é convexa pois sua segunda derivada g''(c)=2>0.
(b) Aplicando Jensen obtém-se E[C^2]>=l(E[C]r)^2.
(c) O valor esperado do quadrado do custo é maior (ou igual) que o quadrado do valor esperado.
(d) Esse resultado equivale a Var(C)=E[C^2]-(E[C])^2>=0.

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