Pesquise no R (usando help ou ?) as funções:
dnorm()
pnorm()
qnorm()
rnorm()

Passo 1

O que você pediu: pesquisar no R (usando help ou ?) as funções listadas. As funções a pesquisar são:
  • dnorm()
  • pnorm()
  • qnorm()
  • rnorm()
Informações fornecidas pelo enunciado: apenas os nomes das quatro funções. Vou mostrar o que o help do R traz sobre cada uma (uso, argumentos, o que retorna), explicar a matemática por trás e dar exemplos práticos de uso e interpretação para você aplicar na prova.

Passo 2

Como abrir o help no R (comandos que você pode rodar no console R):
  • Para abrir a ajuda de dnorm: digite ?dnorm ou help("dnorm").
  • Para ver exemplos que vêm com a ajuda: digite example(dnorm).
  • Para procurar palavras em todas as ajudas: help.search("normal") ou ??normal.
    Esses comandos mostram as seções típicas: Description, Usage, Arguments, Details, Value, See Also, Examples. Use example(...) para ver código que demonstra o uso.

Passo 3

Uso típico no R: dnorm(x, mean = 0, sd = 1, log = FALSE)
O que faz (explicação didática):
  • dnorm retorna a densidade de probabilidade da distribuição Normal em pontos x.
  • A densidade da Normal com média \mu e desvio padrão \sigma é dada por:
\varphi(x;\mu,\sigma)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}\exp\!\biggl(-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}\biggr).
Aqui \mu é a média da distribuição e \sigma é o desvio padrão (a variância é \sigma^{2}). A densidade não é uma probabilidade direta, mas sim a altura da função densidade — probabilidades sobre intervalos são integrais dessa função.
Argumentos importantes do dnorm:
  • x: ponto(s) em que avaliar a densidade.
  • mean: \mu (padrão 0).
  • sd: \sigma (padrão 1).
  • log: se TRUE, retorna o log da densidade (útil para evitar underflow).
Exemplo numérico e cálculo passo a passo (sem usar R, para você entender):
  • Calcular \varphi(1;0,1) (densidade da Normal padrão em x=1):
\varphi(1;0,1)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\!\biggl(-\frac{1^{2}}{2}\biggr).
Passos numéricos:
  • \sqrt{2\pi}\approx 2,506628.
  • \exp(-1/2)\approx 0,6065307.
  • Logo \varphi(1;0,1)\approx\frac{1}{2,506628}\times 0,6065307\approx 0,2419707.
    No R: dnorm(1) retorna aproximadamente 0.2419707.

Passo 4

Uso típico no R: pnorm(q, mean = 0, sd = 1, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)
O que faz (explicação didática):
  • pnorm calcula a probabilidade acumulada até q, isto é,
\Phi(q;\mu,\sigma)=P(X\le q)=\int_{-\infty}^{q}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}\exp\!\biggl(-\frac{(t-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}\biggr)\,dt.
  • Para a Normal padrão ( \mu=0,\sigma=1) escrevemos \Phi(q).
Argumentos importantes:
  • q: quantil (ponto) onde avaliar a CDF.
  • mean, sd: parâmetros \mu e \sigma.
  • lower.tail: se TRUE retorna P(X\le q); se FALSE retorna P(X>q) (útil para caudas).
  • log.p: se TRUE retorna o log da probabilidade.
Exemplos e interpretações:
  • pnorm(1) (Normal padrão) retorna aproximadamente 0.8413447, ou seja P(X\le 1)\approx 0,8413447.
  • Assim P(X>1)=1-\text{pnorm}(1)\approx 0,1586553.
    Dica de prova: para pnorm(q, mu, sd) você pode padronizar:
\Phi\biggl(\frac{q-\mu}{\sigma}\biggr)=\text{pnorm}\bigl(q,\mu,\sigma\bigr).

Passo 5

Uso típico no R: qnorm(p, mean = 0, sd = 1, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)
O que faz (explicação didática):
  • qnorm dá o valor q tal que P(X\le q)=p. É a inversa da pnorm.
  • Ou seja, se p=\Phi(q;\mu,\sigma) então qnorm(p, mean=mu, sd=sigma) retorna esse q.
Argumentos importantes:
  • p: probabilidade acumulada (entre 0 e 1).
  • mean, sd: \mu e \sigma.
  • lower.tail/log.p com os mesmos significados de pnorm.
Exemplos úteis:
  • qnorm(0,5) retorna 0 (mediana da Normal padrão).
  • qnorm(0,975) (Normal padrão) retorna aproximadamente 1,959964 — este é o quantil usado frequentemente para intervalos de confiança de 95\% (bilateral).
  • Na prova: para obter um valor crítico z_{\alpha} use qnorm(1-\alpha) se estiver usando a cauda superior.

Passo 6

Uso típico no R: rnorm(n, mean = 0, sd = 1)
O que faz (explicação didática):
  • rnorm gera n observações pseudo-aleatórias de uma Normal com média \mu e desvio padrão \sigma.
  • É baseado em um gerador de números pseudo-aleatórios; para resultados reprodutíveis use set.seed() antes.
Argumentos importantes:
  • n: número de observações a gerar (inteiro).
  • mean, sd: \mu e \sigma.
Exemplo prático (para você testar no R e obter sempre o mesmo resultado):
  • No R:
set.seed(123)
rnorm(5)
Resultado (exemplo típico): -0,56047565 -0,23017749 1,55870831 0,07050839 0,12928774
(Isto são os valores gerados com set.seed(123); se não usar set.seed, os valores mudam a cada execução.)
Dicas de uso:
  • Use mean(rnorm(n, mu, sd)) e var(rnorm(n, mu, sd)) para experimentar convergência para \mu e \sigma^{2} quando n é grande.
  • Para simulações Monte Carlo, rnorm é a função chave para modelos normais.

Passo 7

  • Resumo funcional (fórmula conceitual):
    • dnorm — densidade: \varphi(x;\mu,\sigma).
    • pnorm — distribuição acumulada: \Phi(q;\mu,\sigma)=\int_{-\infty}^{q}\varphi(t;\mu,\sigma)\,dt.
    • qnorm — quantil: inversa de pnorm.
    • rnorm — amostra aleatória: gera X_{1},\dots,X_{n}\sim N(\mu,\sigma^{2}).
  • Derivada/integral: \dfrac{d}{dx}\Phi(x)=\varphi(x). Em palavras: a derivada da CDF é a densidade.
  • Em provas sem calculadora:
    • Aprenda valores padrões: \Phi(0)=0,5, \Phi(1)\approx 0,8413, \Phi(1,96)\approx 0,975.
    • Para problemas numéricos, padronize: use Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma} e tabelas da Normal padrão ou use pnorm/qnorm no R quando permitido.
  • Opções lower.tail e log são úteis quando lidar com probabilidades muito pequenas (evitar valores numéricos muito pequenos usando logs).

Passo 8

  1. Calcule P(X>1) para X\sim N(0,1).
  • Use: 1 - pnorm(1) → aproximadamente 0,1586553.
  1. Calcule P(0<X<2) para X\sim N(0,1).
  • Use: pnorm(2) - pnorm(0) → aproximadamente \(\Phi(2)-0,5\approx 0,97725-0,5=0,47725\).
  1. Encontre o quantil superior de 2,5\% (valor crítico para teste bilateral de 95%):
  • Use: qnorm(0,975) → aproximadamente 1,959964.
  1. Simule uma amostra de tamanho n=1000 e estime a média:
  • set.seed(1); x <- rnorm(1000, mean = 5, sd = 2); mean(x) — espera-se algo próximo de 5.

Passo 9

  • A página de ajuda traz observações sobre desempenho numérico (uso de log=TRUE), referências teóricas e exemplos de uso. Se precisar, abra ?dnorm, leia as seções Description, Details e Examples; os exemplos no final da página são muito úteis para ver formas de uso reais.

Resposta

dnorm() — densidade da distribuição Normal: retorna \varphi(x;\mu,\sigma)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}\exp\!\bigl(-\dfrac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}\bigr).
pnorm() — função de distribuição acumulada (CDF): retorna \Phi(q;\mu,\sigma)=P(X\le q)=\int_{-\infty}^{q}\varphi(t;\mu,\sigma)\,dt.
qnorm() — função quantil (inversa da CDF): retorna q tal que P(X\le q)=p.
rnorm() — gera n observações pseudo-aleatórias de N(\mu,\sigma^{2}); use set.seed() para reprodutibilidade.

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