Pesquise no R (usando help ou ?) as funções:
dnorm()
pnorm()
qnorm()
rnorm()
dnorm()
pnorm()
qnorm()
rnorm()
Passo 1
O que você pediu: pesquisar no R (usando
help ou ?) as funções listadas. As funções a pesquisar são:dnorm()pnorm()qnorm()rnorm()
Informações fornecidas pelo enunciado: apenas os nomes das quatro funções. Vou mostrar o que o help do R traz sobre cada uma (uso, argumentos, o que retorna), explicar a matemática por trás e dar exemplos práticos de uso e interpretação para você aplicar na prova.
Passo 2
Como abrir o help no R (comandos que você pode rodar no console R):
- Para abrir a ajuda de
dnorm: digite?dnormouhelp("dnorm"). - Para ver exemplos que vêm com a ajuda: digite
example(dnorm). - Para procurar palavras em todas as ajudas:
help.search("normal")ou??normal.
Esses comandos mostram as seções típicas: Description, Usage, Arguments, Details, Value, See Also, Examples. Useexample(...)para ver código que demonstra o uso.
Passo 3
Uso típico no R:
dnorm(x, mean = 0, sd = 1, log = FALSE)O que faz (explicação didática):
dnormretorna a densidade de probabilidade da distribuição Normal em pontosx.- A densidade da Normal com média
e desvio padrão é dada por:
Aqui
é a média da distribuição e
é o desvio padrão (a variância é
). A densidade não é uma probabilidade direta, mas sim a altura da função densidade — probabilidades sobre intervalos são integrais dessa função.
Argumentos importantes do
dnorm:x: ponto(s) em que avaliar a densidade.mean:(padrão 0).sd:(padrão 1).log: seTRUE, retorna o log da densidade (útil para evitar underflow).
Exemplo numérico e cálculo passo a passo (sem usar R, para você entender):
- Calcular
(densidade da Normal padrão em ):
Passos numéricos:
-
. -
. - Logo
.
No R:dnorm(1)retorna aproximadamente0.2419707.
Passo 4
Uso típico no R:
pnorm(q, mean = 0, sd = 1, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)O que faz (explicação didática):
pnormcalcula a probabilidade acumulada atéq, isto é,
- Para a Normal padrão (
) escrevemos .
Argumentos importantes:
q: quantil (ponto) onde avaliar a CDF.mean,sd: parâmetrose . lower.tail: seTRUEretorna; se FALSEretorna(útil para caudas). log.p: seTRUEretorna o log da probabilidade.
Exemplos e interpretações:
pnorm(1)(Normal padrão) retorna aproximadamente0.8413447, ou seja. - Assim
.
Dica de prova: parapnorm(q, mu, sd)você pode padronizar:
Passo 5
Uso típico no R:
qnorm(p, mean = 0, sd = 1, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)O que faz (explicação didática):
qnormdá o valorqtal que. É a inversa da pnorm.- Ou seja, se
então qnorm(p, mean=mu, sd=sigma)retorna esse.
Argumentos importantes:
p: probabilidade acumulada (entre 0 e 1).mean,sd:e . lower.tail/log.pcom os mesmos significados depnorm.
Exemplos úteis:
qnorm(0,5)retorna0(mediana da Normal padrão).qnorm(0,975)(Normal padrão) retorna aproximadamente1,959964— este é o quantil usado frequentemente para intervalos de confiança de(bilateral). - Na prova: para obter um valor crítico
use qnorm(1-\alpha)se estiver usando a cauda superior.
Passo 6
Uso típico no R:
rnorm(n, mean = 0, sd = 1)O que faz (explicação didática):
rnormgeranobservações pseudo-aleatórias de uma Normal com médiae desvio padrão . - É baseado em um gerador de números pseudo-aleatórios; para resultados reprodutíveis use
set.seed()antes.
Argumentos importantes:
n: número de observações a gerar (inteiro).mean,sd:e .
Exemplo prático (para você testar no R e obter sempre o mesmo resultado):
- No R:
set.seed(123)
rnorm(5)
Resultado (exemplo típico):
(Isto são os valores gerados com
-0,56047565 -0,23017749 1,55870831 0,07050839 0,12928774(Isto são os valores gerados com
set.seed(123); se não usar set.seed, os valores mudam a cada execução.)Dicas de uso:
- Use
mean(rnorm(n, mu, sd))evar(rnorm(n, mu, sd))para experimentar convergência parae quando né grande. - Para simulações Monte Carlo,
rnormé a função chave para modelos normais.
Passo 7
- Resumo funcional (fórmula conceitual):
dnorm— densidade:. pnorm— distribuição acumulada:. qnorm— quantil: inversa depnorm.rnorm— amostra aleatória: gera.
- Derivada/integral:
. Em palavras: a derivada da CDF é a densidade. - Em provas sem calculadora:
- Aprenda valores padrões:
, , . - Para problemas numéricos, padronize: use
e tabelas da Normal padrão ou use pnorm/qnormno R quando permitido.
- Aprenda valores padrões:
- Opções
lower.tailelogsão úteis quando lidar com probabilidades muito pequenas (evitar valores numéricos muito pequenos usando logs).
Passo 8
- Calcule
para .
- Use:
1 - pnorm(1)→ aproximadamente0,1586553.
- Calcule
para .
- Use:
pnorm(2) - pnorm(0)→ aproximadamente\(\Phi(2)-0,5\approx 0,97725-0,5=0,47725\).
- Encontre o quantil superior de
(valor crítico para teste bilateral de 95%):
- Use:
qnorm(0,975)→ aproximadamente1,959964.
- Simule uma amostra de tamanho
e estime a média:
set.seed(1); x <- rnorm(1000, mean = 5, sd = 2); mean(x)— espera-se algo próximo de5.
Passo 9
- A página de ajuda traz observações sobre desempenho numérico (uso de
log=TRUE), referências teóricas e exemplos de uso. Se precisar, abra?dnorm, leia as seções Description, Details e Examples; os exemplos no final da página são muito úteis para ver formas de uso reais.
Resposta
dnorm() — densidade da distribuição Normal: retorna
.
pnorm() — função de distribuição acumulada (CDF): retorna .
qnorm() — função quantil (inversa da CDF): retorna tal que
.
rnorm() — gera observações pseudo-aleatórias de
; use
pnorm() — função de distribuição acumulada (CDF): retorna
qnorm() — função quantil (inversa da CDF): retorna
rnorm() — gera
set.seed() para reprodutibilidade.