Considere uma variável aleatória X com distribuição Geométrica com parâmetro p=0,4. Calcule:
a) P(X=4).
b) P(3 <= X<5).
c) P(X >= 2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória $ X $ que segue uma Distribuição Geométrica com parâmetro $ p = 0,4 $. A Distribuição Geométrica é usada para modelar o número de tentativas até obter o primeiro sucesso em uma sequência de eventos independentes, onde a probabilidade de sucesso em cada tentativa é $ p $. Para resolver as partes a, b e c, vamos utilizar a fórmula da probabilidade da Distribuição Geométrica e entender como aplicá-la em cada caso.

Passo 2

Parte a: Calcular $ P(X = 4) $.
A fórmula para calcular a probabilidade de $ X $ ser igual a um valor específico $ k $ na Distribuição Geométrica é:
P(X = 4)
Aqui, queremos $ k = 4 $ e $ p = 0,4 $. Então, substituindo na fórmula:
X
Calculando $ (0,6)^3 $:
k
Multiplicando por $ 0,4 $:
P(X = k) = (1 - p)^k-1 times p

Passo 3

Parte b: Calcular $ P(3 \leq X < 5) $.
Esse intervalo significa que $ X $ pode ser 3 ou 4, já que $ X $ é um número inteiro positivo. Então, podemos calcular separadamente $ P(X = 3) $ e $ P(X = 4) $ e somar os resultados.
Primeiro, calculamos $ P(X = 3) $:
P(3 <= X < 5)
Já sabemos de $ P(X = 4) $ que é $ 0,0864 $.
Agora, somamos as duas probabilidades:
X

Passo 4

Parte c: Calcular $ P(X \geq 2) $.
Essa probabilidade significa que o primeiro sucesso ocorre na segunda tentativa ou depois. Podemos calcular isso subtraindo a probabilidade de $ X = 1 $ da probabilidade total.
Primeiro, calculamos $ P(X = 1) $:
P(X >= 2)
Agora, a probabilidade total é 1, então:
X = 1

Resposta

a) $ P(X = 4) = 0,0864 $
b) $ P(3 \leq X < 5) = 0,2304 $
c) $ P(X \geq 2) = 0,6 $

Exercícios relacionados