Na inspeção de qualidade de um produto são utilizadas quatro categorias para classificação: conforme, aproveitável, reciclável e refugado. As probabilidades de pertencer a cada um dos grupos são, respectivamente: p1 = 0,70; p2 = 0,15; p3 = 0,10 e p4 = 0,05. Em um lote de 10 unidades, qual a probabilidade de se encontrar seis unidades conformes, duas aproveitáveis, uma reciclável e uma refugada?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício que fala sobre inspeção de qualidade de um produto, onde cada unidade pode cair em uma de quatro categorias: conforme, aproveitável, reciclável ou refugada. As probabilidades dessas categorias são 0,70, 0,15, 0,10 e 0,05, respectivamente. A pergunta é: em um lote de 10 unidades, qual a probabilidade de encontrar exatamente 6 conformes, 2 aproveitáveis, 1 reciclável e 1 refugada?
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de probabilidade multinomial, que é uma extensão da probabilidade binomial quando temos mais de duas categorias.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a probabilidade multinomial. Ela nos ajuda a calcular a probabilidade de ocorrerem múltiplos eventos diferentes em um certo número de tentativas. No nosso caso, temos 10 unidades (tentativas) e 4 categorias (eventos) com probabilidades diferentes.
A fórmula da probabilidade multinomial é:
Onde:
- $ n $ é o número total de unidades (10).
- $ k_1, k_2, k_3, k_4 $ são as quantidades em cada categoria (6, 2, 1, 1).
- $ p_1, p_2, p_3, p_4 $ são as probabilidades de cada categoria (0,70; 0,15; 0,10; 0,05).
Passo 3
Vamos substituir os valores na fórmula:
Agora, vamos calcular cada parte separadamente.
Passo 4
Primeiro, calculamos o fatorial:
E os fatoriais do denominador:
Então,
Passo 5
Agora, calculamos as potências das probabilidades:
Multiplicando essas potências:
Passo 6
Finalmente, multiplicamos o resultado do fatorial pelo resultado das potências:
Resposta
A probabilidade de encontrar exatamente 6 unidades conformes, 2 aproveitáveis, 1 reciclável e 1 refugada em um lote de 10 unidades é aproximadamente 0,0334 ou 3,34%.