A experiência passada indica que, em média, 6 clientes por hora colocam gasolina em uma bomba.
a) Qual é a probabilidade de 3 clientes pararem qualquer hora?
b) Qual é a probabilidade de 3 clientes ou menos pararem em qualquer hora?

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre a probabilidade de clientes pararem em um posto de gasolina. A situação dada é que, em média, 6 clientes por hora colocam gasolina em uma bomba. Vamos utilizar o conceito de Distribuição de Poisson, que é útil para calcular a probabilidade de um determinado número de eventos ocorrer em um intervalo fixo de tempo ou espaço, quando esses eventos ocorrem com uma taxa média constante e de forma independente.

Passo 2

A Distribuição de Poisson é definida pela fórmula:
P(X = k) = lambda^k e^-lambdak!
Onde:
  • P(X = k) é a probabilidade de ocorrer exatamente k eventos.
  • lambda é a taxa média de ocorrência (número médio de eventos por intervalo).
  • e é a base do logaritmo natural (aproximadamente 2,71828).
  • k! é o fatorial de k.

Passo 3

Parte a): Queremos saber a probabilidade de exatamente 3 clientes pararem em qualquer hora.
Aqui, lambda = 6 clientes por hora, e k = 3.
Aplicando na fórmula de Poisson:
P(X = 3) = 6^3 e^-63!

Passo 4

Vamos calcular cada parte da fórmula:
  • 6^3 = 216
  • 3! = 6
  • e^-6 approx 0,002478752
Então:
P(X = 3) = 216 times 0,0024787526 = 0,5352996 approx 0,0892
Isso significa que a probabilidade de exatamente 3 clientes pararem em uma hora é de aproximadamente 8,92%.

Passo 5

Parte b): Queremos saber a probabilidade de 3 clientes ou menos pararem em qualquer hora. Isso significa calcular P(X <= 3), que é a soma das probabilidades de 0, 1, 2 e 3 clientes pararem.
Usaremos a mesma fórmula de Poisson para cada valor de k e depois somaremos os resultados:
P(X <= 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)
Calculando cada termo:
  1. P(X=0) = 6^0 e^-60! = 1 times 0,0024787521 = 0,002478752
  2. P(X=1) = 6^1 e^-61! = 6 times 0,0024787521 = 0,014872512
  3. P(X=2) = 6^2 e^-62! = 36 times 0,0024787522 = 0,044613144
  4. P(X=3) = 0,0892 (já calculado anteriormente)
Somando todos:
P(X <= 3) = 0,002478752 + 0,014872512 + 0,044613144 + 0,0892 approx 0,151164
Ou seja, aproximadamente 15,12% de chance de que 3 ou menos clientes parem em uma hora.

Resposta

a) A probabilidade de exatamente 3 clientes pararem em qualquer hora é de aproximadamente 8,92%.
b) A probabilidade de 3 clientes ou menos pararem em qualquer hora é de aproximadamente 15,12%.

Exercícios relacionados