Lançam-se três moedas equilibradas. Seja
o número de ocorrências da face cara. Determine a distribuição de probabilidade de
. Determine
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre lançar três moedas justas, ou seja, com a mesma chance de cair cara ou coroa. A gente quer descobrir duas coisas:
- Qual é a distribuição de probabilidade de $ X $, que representa o número de caras que aparecem.
- Os valores esperados de $ X $ e da variância de $ X $.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre distribuições de probabilidade discretas, especialmente a distribuição binomial, que é perfeita para esse tipo de situação onde temos um número fixo de tentativas independentes com duas possibilidades de resultado.
Passo 2
Primeiro, vamos listar todas as possíveis combinações que podem sair ao lançar três moedas. Cada moeda pode dar cara © ou coroa (K), então temos $ 2^3 = 8 $ possibilidades:
- C C C
- C C K
- C K C
- C K K
- K C C
- K C K
- K K C
- K K K
Agora, vamos contar quantas caras aparecem em cada caso:
- 3 caras: 1 combinação (C C C)
- 2 caras: 3 combinações (C C K, C K C, K C C)
- 1 cara: 3 combinações (C K K, K C K, K K C)
- 0 caras: 1 combinação (K K K)
Passo 3
Com isso, podemos montar a distribuição de probabilidade de $ X $, que nos mostra a probabilidade de cada número de caras ocorrer:
Isso significa que a probabilidade de sair 0 caras é 1/8, de 1 cara é 3/8, de 2 caras é 3/8 e de 3 caras é 1/8.
Passo 4
Agora, vamos calcular o valor esperado $ E(X) $, que é a média ponderada dos possíveis valores de $ X $:
Então, o valor esperado é 1,5 caras.
Passo 5
Para a variância $ \operatorname{Var}(X) $, usamos a fórmula:
Primeiro, calculamos $ E(X^2) $:
Agora, usamos isso para encontrar a variância:
Resposta
A distribuição de probabilidade de $ X $ é:
O valor esperado $ E(X) $ é 1,5 e a variância $ \operatorname{Var}(X) $ é 0,75.