Lançam-se três moedas equilibradas. Seja X o número de ocorrências da face cara. Determine a distribuição de probabilidade de X. Determine E(X) e Var(X).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre lançar três moedas justas, ou seja, com a mesma chance de cair cara ou coroa. A gente quer descobrir duas coisas:
  1. Qual é a distribuição de probabilidade de $ X $, que representa o número de caras que aparecem.
  2. Os valores esperados de $ X $ e da variância de $ X $.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre distribuições de probabilidade discretas, especialmente a distribuição binomial, que é perfeita para esse tipo de situação onde temos um número fixo de tentativas independentes com duas possibilidades de resultado.

Passo 2

Primeiro, vamos listar todas as possíveis combinações que podem sair ao lançar três moedas. Cada moeda pode dar cara © ou coroa (K), então temos $ 2^3 = 8 $ possibilidades:
  1. C C C
  2. C C K
  3. C K C
  4. C K K
  5. K C C
  6. K C K
  7. K K C
  8. K K K
Agora, vamos contar quantas caras aparecem em cada caso:
  • 3 caras: 1 combinação (C C C)
  • 2 caras: 3 combinações (C C K, C K C, K C C)
  • 1 cara: 3 combinações (C K K, K C K, K K C)
  • 0 caras: 1 combinação (K K K)

Passo 3

Com isso, podemos montar a distribuição de probabilidade de $ X $, que nos mostra a probabilidade de cada número de caras ocorrer:
X
Isso significa que a probabilidade de sair 0 caras é 1/8, de 1 cara é 3/8, de 2 caras é 3/8 e de 3 caras é 1/8.

Passo 4

Agora, vamos calcular o valor esperado $ E(X) $, que é a média ponderada dos possíveis valores de $ X $:
E(X)
Então, o valor esperado é 1,5 caras.

Passo 5

Para a variância $ \operatorname{Var}(X) $, usamos a fórmula:
Var(X)
Primeiro, calculamos $ E(X^2) $:
Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
Agora, usamos isso para encontrar a variância:
E(X^2)

Resposta

A distribuição de probabilidade de $ X $ é:
X
O valor esperado $ E(X) $ é 1,5 e a variância $ \operatorname{Var}(X) $ é 0,75.

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