Considere a variável aleatória
com a seguinte função discreta de probabilidade:
X
-2
-1
0
2
12,5
0,3
0,2
0,3
0,1
0,1
(a) Calcule a mediana
, a moda
, a média
e a variância
da variável aleatória X .
(b) Calcule a média e a variância das variáveis aleatórias
e
.
X | -2 | -1 | 0 | 2 | 12,5 |
|
0,3 | 0,2 | 0,3 | 0,1 | 0,1 |
(b) Calcule a média e a variância das variáveis aleatórias
Passo 1
O enunciado define uma variável aleatória discreta
com possíveis valores
e respectivas probabilidades
. Precisamos usar:
- a definição de mediana (valor
tal que e ); - a definição de moda (valor(es) de maior probabilidade);
- a fórmula da esperança
e da variância
Também empregaremos as propriedades de transformações lineares
e não-lineares
.
Passo 2
Ordenando
em ordem crescente, temos
com probabilidades
A função distribuição acumulada (FDA) é
Como
e
, a mediana é
A moda são os valores de maior probabilidade:
e
, cada um com
. Logo
Passo 3
Calcula-se a esperança por
Passo 4
Primeiro calcula-se
Portanto
Passo 5
Para transformações lineares
vale
Assim, para
:
Para
:
Passo 6
Para
temos
Para
precisamos de
Calcula-se