Considere a variável aleatória X com a seguinte função discreta de probabilidade:
X -2 -1 0 2 12,5
p_{i} 0,3 0,2 0,3 0,1 0,1
(a) Calcule a mediana \mathrm{Md}(\mathrm{X}), a moda \mathrm{Mo}(\mathrm{X}), a média E(X) e a variância \operatorname{Var}(X) da variável aleatória X .
(b) Calcule a média e a variância das variáveis aleatórias 2 X, 3 X+1 e X^{2}-5.

Passo 1

O enunciado define uma variável aleatória discreta X com possíveis valores -2,-1,0,2,12{,}5 e respectivas probabilidades 0{,}3,0{,}2,0{,}3,0{,}1,0{,}1. Precisamos usar:
  • a definição de mediana (valor m tal que P(X\le m)\ge0{,}5 e P(X\ge m)\ge0{,}5);
  • a definição de moda (valor(es) de maior probabilidade);
  • a fórmula da esperança
E(X)=\sum_i x_i\,p_i,
e da variância
\Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2.
Também empregaremos as propriedades de transformações lineares Y=aX+b e não-lineares Z=g(X).

Passo 2

Ordenando X em ordem crescente, temos
X=-2,\; -1,\;0,\;2,\;12{,}5,
com probabilidades
0{,}3,\;0{,}2,\;0{,}3,\;0{,}1,\;0{,}1.
A função distribuição acumulada (FDA) é
P(X\le -2)=0{,}3,\;P(X\le -1)=0{,}5,\;P(X\le0)=0{,}8,\dots
Como P(X\le -1)=0{,}5 e P(X\ge -1)=0{,}7\ge0{,}5, a mediana é
\mathrm{Md}(X)=-1.
A moda são os valores de maior probabilidade: -2 e 0, cada um com p=0{,}3. Logo
\mathrm{Mo}(X)=\{-2,\,0\}.

Passo 3

Calcula-se a esperança por
E(X)=(-2)\cdot0{,}3+(-1)\cdot0{,}2+0\cdot0{,}3+2\cdot0{,}1+12{,}5\cdot0{,}1 =-0{,}6-0{,}2+0+0{,}2+1{,}25=0{,}65.

Passo 4

Primeiro calcula-se
E(X^2)=(-2)^2\cdot0{,}3+(-1)^2\cdot0{,}2+0^2\cdot0{,}3+2^2\cdot0{,}1+(12{,}5)^2\cdot0{,}1 =1{,}2+0{,}2+0+0{,}4+15{,}625=17{,}425.
Portanto
\Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=17{,}425-(0{,}65)^2=17{,}425-0{,}4225=17{,}0025.

Passo 5

Para transformações lineares Y=aX+b vale
E(Y)=a\,E(X)+b,\qquad \Var(Y)=a^2\,\Var(X).
Assim, para Y=2X:
E(2X)=2\cdot0{,}65=1{,}3,\quad \Var(2X)=4\cdot17{,}0025=68{,}01.
Para W=3X+1:
E(3X+1)=3\cdot0{,}65+1=2{,}95,\quad \Var(3X+1)=9\cdot17{,}0025=153{,}0225.

Passo 6

Para Z=X^2-5 temos
E(Z)=E(X^2)-5=17{,}425-5=12{,}425.
Para \Var(Z) precisamos de
E(Z^2)=E\bigl[(X^2-5)^2\bigr] =E(X^4)-10\,E(X^2)+25.
Calcula-se
E(X^4)=(-2)^4\cdot0{,}3+(-1)^4\cdot0{,}2+0+2^4\cdot0{,}1+(12{,}5)^4\cdot0{,}1 =4{,}8+0{,}2+0+1{,}6+2441{,}40625=2448{,}00625,
E(Z^2)=2448{,}00625-10\cdot17{,}425+25=2298{,}75625,
\Var(Z)=E(Z^2)-[E(Z)]^2 =2298{,}75625-(12{,}425)^2 =2298{,}75625-154{,}380625=2144{,}375625.

Resposta

\mathrm{Md}(X)=-1 \mathrm{Mo}(X)=\{-2,0\} E(X)=0{,}65 \Var(X)=17{,}0025 E(2X)=1{,}3,\;\Var(2X)=68{,}01 E(3X+1)=2{,}95,\;\Var(3X+1)=153{,}0225 E(X^2-5)=12{,}425,\;\Var(X^2-5)=2144{,}375625

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