Em um estudo sobre renda familiar (em salários mínimos=SM) de um certo bairro de Fortaleza, percebeu-se que 20 % das famílias ganham até 1 SM, 50 % ganham entre 1 e 2 SM, 20 % entre 2 e 3 SM , e o restante entre 3 e 5 SM. Responda:
a) Com base nas informações disponíveis construa uma tabela de frequências (relativas) e o histograma.
b) Obtenha a média e interprete o histograma.
c) Encontre a variância e o coeficiente de variação.

Passo 1

O enunciado traz a distribuição da renda familiar em salários mínimos (SM) com quatro intervalos de classes e suas frequências relativas:
– 20 % das famílias ganham até 1 SM.
– 50 % ganham entre 1 e 2 SM.
– 20 % entre 2 e 3 SM.
– 10 % entre 3 e 5 SM.
O conteúdo envolvido é estatística descritiva: tabela de frequência, histograma, média, variância e coeficiente de variação. Para resolver, vamos usar os pontos médios de cada classe e fórmulas de média e variância para dados agrupados.

Passo 2

Montamos a tabela de frequência relativa com ponto médio de cada classe:
Para o histograma de frequências relativas usamos altura igual à densidade . Assim as alturas são:
O histograma terá barras nos intervalos 0–1, 1–2, 2–3 e 3–5 com essas alturas e larguras correspondentes.

Passo 3

Calculamos a média aproximada bar x para dados agrupados:
bar x = sumi fi,mi =0,20cdot0,5 + 0,50cdot1,5 + 0,20cdot2,5 + 0,10cdot4,0 =0,10 + 0,75 + 0,50 + 0,40 =1,75 SM

Passo 4

Interpretação do histograma e da média:
– O histograma é unimodal, com pico na classe 1–2 SM, e cauda estendida para a direita (assimetria positiva).
– A média bar x=1,75 SM indica que, em média, as famílias ganham cerca de 1,75 salários mínimos, refletindo o maior acúmulo de famílias na classe 1–2 SM e alguma dispersão para valores mais altos.

Passo 5

Calculamos a variância aproximada sigma^2 e o coeficiente de variação CV:
sigma^2 = sumi fi,(mi - bar x)^2 =0,20,(0,5-1,75)^2 +0,50,(1,5-1,75)^2 +0,20,(2,5-1,75)^2 +0,10,(4,0-1,75)^2
=0,20cdot1,5625+0,50cdot0,0625+0,20cdot0,5625+0,10cdot5,0625 =0,3125+0,03125+0,1125+0,50625 =0,9625;(SM)^2
O desvio padrão é sigma=raiz0,9625approx0,9811 SM e
CV = sigmabar xtimes100% approx0,98111,75times100%approx56,06%

Resposta

a) Tabela de frequências relativas com ponto médio e histograma de densidades conforme alturas 0,20,0,50,0,20,0,05.
b) bar x=1,75 SM; histograma unimodal em 1–2 SM com cauda à direita (assimetria positiva).
c) sigma^2=0,9625 SM ^2, sigmaapprox0,9811 SM, CVapprox56,06%.

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