Considere uma variável x que possa assumir os seguintes valores discretos 0,1 e 2 , com probabilidade \wp(0)=\frac{1}{2}, \wp(1)=\frac{1}{4} e \wp(2)=\frac{1}{4} respectivamente. Determine:
(b) \overline{x^{2}}

Passo 1

O enunciado dá uma variável discreta x que assume os valores 0, 1 e 2 com probabilidades \wp(0)=\tfrac12, \wp(1)=\tfrac14 e \wp(2)=\tfrac14. A parte (b) pede o valor médio de x^2, ou seja \overline{x^2}. Vamos usar a definição de esperança (valor médio) de uma função de variável aleatória discreta.

Passo 2

Para qualquer função g(x) de uma variável discreta, a esperança é
E[g(x)] \;=\;\sum_{i} g(x_i)\,\wp(x_i).
Aqui queremos g(x)=x^2, logo
\overline{x^2}=E[x^2]=\sum_{x\in\{0,1,2\}} x^2\,\wp(x).

Passo 3

Vamos calcular cada termo da soma:
  • Para x=0:
0^2\cdot\wp(0)=0\cdot\tfrac12=0.
  • Para x=1:
1^2\cdot\wp(1)=1\cdot\tfrac14=\tfrac14.
  • Para x=2:
2^2\cdot\wp(2)=4\cdot\tfrac14=1.
Somando todos os termos,
\overline{x^2}=0+\tfrac14+1=\tfrac54.

Resposta

\overline{x^2} = \tfrac54

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