Considere \varphi(x)=\frac{5}{x} :
(a) (1,0) Verifique que x=\sqrt{5} é ponto fixo.
(b) (1,0) Calcule \varphi^{\prime}(x) nos pontos fixos e comente sobre a convergencia local do método do ponto fixo.
(c) (2,0) Com x_{0}=1, calcule quatro iterações. Qual o comportamento da sequência x_{k} ?

Passo 1

O enunciado nos dá a função \varphi(x)=\dfrac{5}{x} e pede três coisas:
  • (a) Verificar que x=\sqrt{5} é ponto fixo.
  • (b) Calcular \varphi'(x) nos pontos fixos e comentar sobre a convergência local do método do ponto fixo (iteração x_{k+1}=\varphi(x_k)).
  • (c) Com x_{0}=1, calcular quatro iterações x_{1},x_{2},x_{3},x_{4} e descrever o comportamento da sequência (x_{k}).
    Informações relevantes dadas: a expressão explícita de \varphi e o valor inicial x_{0}=1 para a parte (c). Não há outras restrições no enunciado.

Passo 2

(a) O que é ser ponto fixo? Um número x^{*} é ponto fixo de \varphi se \varphi(x^{*})=x^{*}. Vamos verificar isso para x^{*}=\sqrt{5}.
Calcule \varphi(\sqrt{5}):
\varphi(\sqrt{5})=\frac{5}{\sqrt{5}}.
Simplificando a fração:
\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5},
pois 5=(\sqrt{5})^2. Logo \varphi(\sqrt{5})=\sqrt{5}, ou seja, \sqrt{5} é de fato ponto fixo.
Observação extra (útil): resolvendo \varphi(x)=x temos \dfrac{5}{x}=x\Rightarrow x^{2}=5, portanto existem dois pontos fixos \;x=\pm\sqrt{5}. O enunciado pediu verificar +\sqrt{5}, que fazemos acima.

Passo 3

(b) Primeiro calculemos a derivada de \varphi. Para \varphi(x)=\dfrac{5}{x} usamos a regra de derivação de x\mapsto x^{-1}:
\varphi'(x) = \frac{d}{dx}\!\left(5x^{-1}\right) = 5\cdot(-1)x^{-2} = -\frac{5}{x^{2}}.
Agora avaliamos \varphi' nos pontos fixos x^{*}=\pm\sqrt{5}:
\varphi'(\pm\sqrt{5}) = -\frac{5}{(\pm\sqrt{5})^{2}} = -\frac{5}{5} = -1.

Passo 4

(b) (continuação — interpretação didática sobre convergência)
Vou explicar o critério básico de convergência local do método do ponto fixo e aplicar aqui, passo a passo, sem pular etapas.
  • Critério linear (ferramenta padrão): se \varphi é derivável perto de x^{*} e |\varphi'(x^{*})|<1, então a iteração x_{k+1}=\varphi(x_k) converge localmente para x^{*} (para x_0 suficientemente próximo). Se |\varphi'(x^{*})|>1, em geral diverge. Se |\varphi'(x^{*})|=1, o teste linear é inconclusivo — precisamos analisar termos de ordem superior ou a estrutura da função.
  • Aplicando ao nosso caso: encontramos \varphi'(\pm\sqrt{5})=-1, portanto |\varphi'(\pm\sqrt{5})|=1. Assim o teste linear é inconclusivo — não podemos garantir convergência apenas por esse número.
Para entender melhor o comportamento, faço duas observações que são bem esclarecedoras:
  1. Expansão do erro por Taylor (ideia): se x_k=x^{*}+e_k com e_k pequeno, então
e_{k+1} = \varphi(x^{*}+e_k)-\varphi(x^{*}) = \varphi'(x^{*})\,e_k + \tfrac{1}{2}\varphi''(x^{*})\,e_k^{2} + O(e_k^{3}).
Como aqui \varphi'(x^{*})=-1, temos
e_{k+1} = -e_k + \tfrac{1}{2}\varphi''(x^{*})\,e_k^{2} + \cdots,
ou seja, o erro muda de sinal a cada passo (alternância). O termo quadrático pode causar um desvio lento, mas a presença do fator -1 linear normalmente impede um decaimento simples do erro — tendemos a ter oscilações e comportamento não atrativo.
  1. Uma observação ainda mais forte e simples: \varphi é uma involução, isto é, \varphi(\varphi(x))=x para todo x\neq 0. Vamos verificar:
\varphi(\varphi(x))=\varphi\!\left(\frac{5}{x}\right)=\frac{5}{\,\frac{5}{x}\,}=x.
Conclusão importante: aplicar \varphi duas vezes retorna exatamente o ponto inicial. Isso implica que a iteração produz ciclos de período 2 (alternância x_0,\varphi(x_0),x_0,\varphi(x_0),\dots) salvo quando x_0 já é um ponto fixo (caso em que \varphi(x_0)=x_0). Portanto a iteração não é localmente atrativa para os pontos fixos — a dinâmica é neutra/alternante e não atrai vizinhanças: a única forma de convergir para um ponto fixo é escolher inicialmente exatamente esse ponto fixo.
Resumo do comentário sobre convergência: Como \varphi'(\pm\sqrt{5})=-1 e, além disso, \varphi\circ\varphi=\mathrm{id}, a iteração por ponto fixo não converge (em geral) para \pm\sqrt{5} — ela gera ciclos de período 2 e só converge se x_0 for já o ponto fixo.

Passo 5

(c) Agora calculamos as quatro primeiras iterações com x_{0}=1. Usamos \varphi(x)=\dfrac{5}{x}.
  • x_{1}=\varphi(x_{0})=\varphi(1)=\dfrac{5}{1}=5.
  • x_{2}=\varphi(x_{1})=\varphi(5)=\dfrac{5}{5}=1.
  • x_{3}=\varphi(x_{2})=\varphi(1)=5.
  • x_{4}=\varphi(x_{3})=\varphi(5)=1.
Portanto a sequência é x_{0}=1,x_{1}=5,x_{2}=1,x_{3}=5,x_{4}=1,\dots — alterna entre 1 e 5.
Comportamento: é um ciclo periódico de período 2. Não converge para \sqrt{5} (nem para -\sqrt{5}); apenas alterna indefinidamente. Isso ilustra a observação do passo anterior: \varphi gera 2-ciclos e não é atrativa para os pontos fixos.

Resposta

(a) \varphi(\sqrt{5})=\dfrac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}, logo x=\sqrt{5} é ponto fixo.
(b) \varphi'(x)=-\dfrac{5}{x^{2}}; em x=\pm\sqrt{5} temos \varphi'(\pm\sqrt{5})=-1. Como |\varphi'|=1 o teste linear é inconclusivo; além disso \varphi\circ\varphi=\mathrm{id}, portanto a iteração produz ciclos de período 2 e não atrai vizinhanças — não há convergência local (a não ser que x_{0} seja já o ponto fixo).
(c) x_{1}=5,\;x_{2}=1,\;x_{3}=5,\;x_{4}=1. A sequência alterna entre 1 e 5 (ciclo de período 2), não converge.

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