Considere
:
(a)
Verifique que
é ponto fixo.
(b)
Calcule
nos pontos fixos e comente sobre a convergencia local do método do ponto fixo.
(c)
Com
, calcule quatro iterações. Qual o comportamento da sequência
?
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede três coisas:
- (a) Verificar que
é ponto fixo. - (b) Calcular
nos pontos fixos e comentar sobre a convergência local do método do ponto fixo (iteração ). - (c) Com
, calcular quatro iterações e descrever o comportamento da sequência .
Informações relevantes dadas: a expressão explícita dee o valor inicial para a parte (c). Não há outras restrições no enunciado.
Passo 2
(a) O que é ser ponto fixo? Um número
é ponto fixo de
se
. Vamos verificar isso para
.
Calcule
:
Simplificando a fração:
pois
. Logo
, ou seja,
é de fato ponto fixo.
Observação extra (útil): resolvendo
temos
, portanto existem dois pontos fixos
. O enunciado pediu verificar
, que fazemos acima.
Passo 3
(b) Primeiro calculemos a derivada de
. Para
usamos a regra de derivação de
:
Agora avaliamos
nos pontos fixos
:
Passo 4
(b) (continuação — interpretação didática sobre convergência)
Vou explicar o critério básico de convergência local do método do ponto fixo e aplicar aqui, passo a passo, sem pular etapas.
Vou explicar o critério básico de convergência local do método do ponto fixo e aplicar aqui, passo a passo, sem pular etapas.
-
Critério linear (ferramenta padrão): se
é derivável perto de e , então a iteração converge localmente para (para suficientemente próximo). Se , em geral diverge. Se , o teste linear é inconclusivo — precisamos analisar termos de ordem superior ou a estrutura da função. -
Aplicando ao nosso caso: encontramos
, portanto . Assim o teste linear é inconclusivo — não podemos garantir convergência apenas por esse número.
Para entender melhor o comportamento, faço duas observações que são bem esclarecedoras:
- Expansão do erro por Taylor (ideia): se
com pequeno, então
Como aqui
, temos
ou seja, o erro muda de sinal a cada passo (alternância). O termo quadrático pode causar um desvio lento, mas a presença do fator
linear normalmente impede um decaimento simples do erro — tendemos a ter oscilações e comportamento não atrativo.
- Uma observação ainda mais forte e simples:
é uma involução, isto é, para todo . Vamos verificar:
Conclusão importante: aplicar
duas vezes retorna exatamente o ponto inicial. Isso implica que a iteração produz ciclos de período
(alternância
) salvo quando
já é um ponto fixo (caso em que
). Portanto a iteração não é localmente atrativa para os pontos fixos — a dinâmica é neutra/alternante e não atrai vizinhanças: a única forma de convergir para um ponto fixo é escolher inicialmente exatamente esse ponto fixo.
Resumo do comentário sobre convergência: Como
e, além disso,
, a iteração por ponto fixo não converge (em geral) para
— ela gera ciclos de período 2 e só converge se
for já o ponto fixo.
Passo 5
(c) Agora calculamos as quatro primeiras iterações com
. Usamos
.
Portanto a sequência é
— alterna entre
e
.
Comportamento: é um ciclo periódico de período
. Não converge para
(nem para
); apenas alterna indefinidamente. Isso ilustra a observação do passo anterior:
gera 2-ciclos e não é atrativa para os pontos fixos.
Resposta
(a)
, logo
é ponto fixo.
(b) ; em
temos
. Como
o teste linear é inconclusivo; além disso
, portanto a iteração produz ciclos de período
e não atrai vizinhanças — não há convergência local (a não ser que
seja já o ponto fixo).
(c) . A sequência alterna entre
e
(ciclo de período
), não converge.
(b)
(c)