(… pontos) Considere os valores de (x ; f(x)) dados por
(-2,16), \quad(-1,0), \quad(0,2), \quad(1,-2), \quad(2,12) .
(a) Calcule o polinômio interpolador dos pontos acima. (Sugestão: Use a forma de Newton)
(b) Utilize a Forma de Newton para obter f(-0,5) usando um polinômio de grau 2 e encontre uma estimativa para o erro, isto é, calcule |E(-0,5)|.

Passo 1

O enunciado dá cinco pontos (-2,16),\;(-1,0),\;(0,2),\;(1,-2),\;(2,12) e pede duas coisas:
  1. (a) Calcular o polinômio interpolador que passa por esses pontos (sugestão: usar a forma de Newton).
  2. (b) Usar a forma de Newton para obter f(-0,5) usando um polinômio de grau 2 e estimar o erro absoluto |E(-0,5)|.
Informações relevantes dadas: os cinco pares (x_i,f(x_i)) acima. Não há outras informações sobre a função além desses pontos.

Passo 2

Vou explicar a ideia da forma de Newton (didaticamente, passo a passo). A forma de Newton constrói o polinômio interpolador com base em diferenças divididas. Para nós:
x_0=-2,\;x_1=-1,\;x_2=0,\;x_3=1,\;x_4=2,
e f(x_0)=16,\;f(x_1)=0,\;f(x_2)=2,\;f(x_3)=-2,\;f(x_4)=12.
A forma de Newton do polinômio de grau ≤4 é
P_4(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)(x-x_1)+a_3(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)+a_4(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3),
onde os coeficientes a_k são diferenças divididas:
a_0=f[x_0],\; a_1=f[x_0,x_1],\; a_2=f[x_0,x_1,x_2],\; \dots
Explico: f[x_i]=f(x_i). A diferença dividida de primeira ordem é
f[x_i,x_{i+1}]=\frac{f(x_{i+1})-f(x_i)}{x_{i+1}-x_i},
e iterativamente
f[x_i,\dots,x_{i+k}]=\frac{f[x_{i+1},\dots,x_{i+k}]-f[x_i,\dots,x_{i+k-1}]}{x_{i+k}-x_i}.
Vamos calcular essas diferenças divididas de forma organizada.

Passo 3

Calculo das diferenças divididas de primeira ordem (vou mostrar a conta para cada uma):
\begin{aligned} f[x_0,x_1] &= \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}=\frac{0-16}{-1-(-2)}=\frac{-16}{1}=-16,\\[4pt] f[x_1,x_2] &= \frac{2-0}{0-(-1)}=\frac{2}{1}=2,\\[4pt] f[x_2,x_3] &= \frac{-2-2}{1-0}=\frac{-4}{1}=-4,\\[4pt] f[x_3,x_4] &= \frac{12-(-2)}{2-1}=\frac{14}{1}=14. \end{aligned}]

Passo 4

Calculo das diferenças divididas de segunda ordem:
\begin{aligned} f[x_0,x_1,x_2] &= \frac{f[x_1,x_2]-f[x_0,x_1]}{x_2-x_0}=\frac{2-(-16)}{0-(-2)}=\frac{18}{2}=9,\\[4pt] f[x_1,x_2,x_3] &= \frac{-4-2}{1-(-1)}=\frac{-6}{2}=-3,\\[4pt] f[x_2,x_3,x_4] &= \frac{14-(-4)}{2-0}=\frac{18}{2}=9. \end{aligned}]

Passo 5

Calculo das diferenças divididas de terceira ordem:
\begin{aligned} f[x_0,x_1,x_2,x_3] &= \frac{f[x_1,x_2,x_3]-f[x_0,x_1,x_2]}{x_3-x_0}=\frac{-3-9}{1-(-2)}=\frac{-12}{3}=-4,\\[4pt] f[x_1,x_2,x_3,x_4] &= \frac{9-(-3)}{2-(-1)}=\frac{12}{3}=4. \end{aligned}]

Passo 6

Diferença dividida de quarta ordem:
f[x_0,x_1,x_2,x_3,x_4]=\frac{4-(-4)}{2-(-2)}=\frac{8}{4}=2.
Resumo dos coeficientes a_k (diferenças divididas com início em x_0=-2):
a_0=f[x_0]=16,\quad a_1=-16,\quad a_2=9,\quad a_3=-4,\quad a_4=2.

Passo 7

Escrevo então o polinômio interpolador na forma de Newton (respondendo o item (a)):
P_4(x)=16-16(x+2)+9(x+2)(x+1)-4(x+2)(x+1)x+2(x+2)(x+1)x(x-1).
Aqui usei x-x_0=x-(-2)=x+2 e x-x_1=x+1, etc. Essa é uma resposta legítima em forma de Newton; abaixo vou expandir para a forma polinomial padrão.

Passo 8

Vou expandir termo a termo para obter a forma em potências usuais (didaticamente, passo a passo):
  1. Termo constante: 16.
  2. Segundo termo: -16(x+2)=-16x-32.
  3. Terceiro termo: 9(x+2)(x+1)=9(x^2+3x+2)=9x^2+27x+18.
  4. Quarto termo: -4(x+2)(x+1)x=-4(x^3+3x^2+2x)=-4x^3-12x^2-8x.
  5. Quinto termo: 2(x+2)(x+1)x(x-1).
    Calculo interno: (x+2)(x+1)=x^2+3x+2 e x(x-1)=x^2-x. Multiplicando:
(x^2+3x+2)(x^2-x)=x^4+2x^3-x^2-2x,
então multiplicando por 2:
2x^4+4x^3-2x^2-4x.
Agora somo todos os termos (coeficientes por grau):
  • Grau 4: 2x^4.
  • Grau 3: -4x^3+4x^3=0.
  • Grau 2: 9x^2-12x^2-2x^2= -5x^2.
  • Grau 1: -16x+27x-8x-4x=-1x.
  • Constante: 16-32+18+0+0=2.
Portanto a forma polinomial padrão é
\boxed{P_4(x)=2x^4-5x^2-x+2.}
Você pode verificar rapidamente em cada um dos pontos dados que P_4(x_i)=f(x_i) (por exemplo P_4(0)=2,\;P_4(1)=-2, etc.), o que confirma a interpolação.

Passo 9

Agora vamos ao item (b). Vou construir um polinômio de grau 2 (quadrático) usando a forma de Newton com os três primeiros nós x_0=-2,\;x_1=-1,\;x_2=0. Os coeficientes para esses primeiros termos já calculamos: a_0=16,\;a_1=-16,\;a_2=9. Assim o quadrático é
Q_2(x)=16-16(x+2)+9(x+2)(x+1).
Queremos Q_2(-0,5). Calculo passo a passo com x=-0,5:
x+2=-0,5+2=1,5,\qquad x+1=-0,5+1=0,5.
Logo
Q_2(-0,5)=16-16\cdot 1,5+9\cdot(1,5\cdot 0,5).
Calculemos numericamente:
16-24+9\cdot 0,75=16-24+6,75=-8+6,75=-1,25.
Portanto a aproximação pelo polinômio de grau 2 é
Q_2(-0,5)=-1,25.

Passo 10

Estimativa do erro |E(-0,5)|. Aqui explico duas coisas de forma prática:
  • Em geral, se você só conhece a função nos nós, para estimar o erro do interpolador quadrático precisamos de informação sobre derivadas da função. Porém, neste exercício nós já construímos o polinômio interpolador de grau 4 que passa por todos os cinco pontos: P_4(x). Se assumirmos que a função f que gerou os pontos é exatamente esse polinômio (ou se quisermos o erro do aproximador quadrático em relação ao interpolador de grau 4), então o erro exato ao usar Q_2 é
E(x)=P_4(x)-Q_2(x).
Usando a forma de Newton isso fica muito prático: os termos que faltam ao quadrático são os termos com a_3 e a_4, ou seja
E(x)=-4(x+2)(x+1)x+2(x+2)(x+1)x(x-1).
Avalio em x=-0,5. Já calculamos x+2=1,5,\;x+1=0,5,\;x=-0,5,\;x-1=-1,5. Primeiro produto
(x+2)(x+1)x=1,5\cdot 0,5\cdot(-0,5)=1,5\cdot(-0,25)=-0,375.
Cálculo das contribuições:
-4\cdot(-0,375)=1,5
e
(x+2)(x+1)x(x-1)=(-0,375)\cdot(-1,5)=0,5625,
multiplicando por 2
2\cdot 0,5625=1,125.
Somando as duas contribuições:
E(-0,5)=1,5+1,125=2,625.
Portanto o erro absoluto é
|E(-0,5)|=2,625.
Observação didática: se a função verdadeira f não for exatamente o polinômio de grau 4 obtido, o valor acima é o erro entre o quadrático Q_2 e o interpolador de grau 4; mas frequentemente, em exercícios de interpolação com poucos pontos, assume-se que os pontos vêm de um polinômio (aqui de grau 4), então o cálculo acima fornece o erro exato.

Resposta

P_4(x)=2x^4-5x^2-x+2.
Q_2(-0,5)=-1,25.
|E(-0,5)|=2,625.

Exercícios relacionados