(… pontos) Considere os valores de
dados por
(a) Calcule o polinômio interpolador dos pontos acima. (Sugestão: Use a forma de Newton)
(b) Utilize a Forma de Newton para obter
usando um polinômio de grau 2 e encontre uma estimativa para o erro, isto é, calcule
.
(b) Utilize a Forma de Newton para obter
Passo 1
O enunciado dá cinco pontos
e pede duas coisas:
- (a) Calcular o polinômio interpolador que passa por esses pontos (sugestão: usar a forma de Newton).
- (b) Usar a forma de Newton para obter
usando um polinômio de grau e estimar o erro absoluto .
Informações relevantes dadas: os cinco pares
acima. Não há outras informações sobre a função além desses pontos.
Passo 2
Vou explicar a ideia da forma de Newton (didaticamente, passo a passo). A forma de Newton constrói o polinômio interpolador com base em diferenças divididas. Para nós:
e
.
A forma de Newton do polinômio de grau ≤4 é
onde os coeficientes
são diferenças divididas:
Explico:
. A diferença dividida de primeira ordem é
e iterativamente
Vamos calcular essas diferenças divididas de forma organizada.
Passo 3
Calculo das diferenças divididas de primeira ordem (vou mostrar a conta para cada uma):
Passo 4
Calculo das diferenças divididas de segunda ordem:
Passo 5
Calculo das diferenças divididas de terceira ordem:
Passo 6
Diferença dividida de quarta ordem:
Resumo dos coeficientes
(diferenças divididas com início em
):
Passo 7
Escrevo então o polinômio interpolador na forma de Newton (respondendo o item (a)):
Aqui usei
e
, etc. Essa é uma resposta legítima em forma de Newton; abaixo vou expandir para a forma polinomial padrão.
Passo 8
Vou expandir termo a termo para obter a forma em potências usuais (didaticamente, passo a passo):
-
Termo constante:
. -
Segundo termo:
. -
Terceiro termo:
. -
Quarto termo:
. -
Quinto termo:
.
Calculo interno:e . Multiplicando:
então multiplicando por
:
Agora somo todos os termos (coeficientes por grau):
- Grau
: . - Grau
: . - Grau
: . - Grau
: . - Constante:
.
Portanto a forma polinomial padrão é
Você pode verificar rapidamente em cada um dos pontos dados que
(por exemplo
etc.), o que confirma a interpolação.
Passo 9
Agora vamos ao item (b). Vou construir um polinômio de grau
(quadrático) usando a forma de Newton com os três primeiros nós
. Os coeficientes para esses primeiros termos já calculamos:
. Assim o quadrático é
Queremos
. Calculo passo a passo com
:
Logo
Calculemos numericamente:
Portanto a aproximação pelo polinômio de grau
é
Passo 10
Estimativa do erro
. Aqui explico duas coisas de forma prática:
- Em geral, se você só conhece a função nos nós, para estimar o erro do interpolador quadrático precisamos de informação sobre derivadas da função. Porém, neste exercício nós já construímos o polinômio interpolador de grau
que passa por todos os cinco pontos: . Se assumirmos que a função que gerou os pontos é exatamente esse polinômio (ou se quisermos o erro do aproximador quadrático em relação ao interpolador de grau ), então o erro exato ao usar é
Usando a forma de Newton isso fica muito prático: os termos que faltam ao quadrático são os termos com
e
, ou seja
Avalio em
. Já calculamos
. Primeiro produto
Cálculo das contribuições:
e
multiplicando por
dá
Somando as duas contribuições:
Portanto o erro absoluto é
Observação didática: se a função verdadeira
não for exatamente o polinômio de grau
obtido, o valor acima é o erro entre o quadrático
e o interpolador de grau
; mas frequentemente, em exercícios de interpolação com poucos pontos, assume-se que os pontos vêm de um polinômio (aqui de grau 4), então o cálculo acima fornece o erro exato.