Considere \vec{v} qualquer.
a) Represente -\vec{v} graficamente.
b) Mostre que \vec{v}+(-\vec{v})=\overrightarrow{0}.
c) Represente 3 \vec{v}-2 \vec{v}.
d) Generalize: k \vec{v}-m \vec{v}=(k-m) \vec{v}.

Passo 1

O enunciado dá uma única informação: \vec{v} é um vetor qualquer. As perguntas são:
a) Representar graficamente -\vec{v}.
b) Mostrar que \vec{v}+(-\vec{v})=\overrightarrow{0}.
c) Representar graficamente 3\vec{v}-2\vec{v}.
d) Generalizar e provar que k\vec{v}-m\vec{v}=(k-m)\vec{v}.

Passo 2

Entendendo os conceitos básicos que vou usar (explicação didática, passo a passo).
  • Vetor: um segmento orientado representado por uma seta; tem direção, sentido e comprimento (magnitude). Vou denotar por \vec{v} um vetor qualquer.
  • Vetor nulo: \overrightarrow{0} é o vetor que não tem direção nem comprimento; na representação por coordenadas é (0,0,\dots).
  • Multiplicação por escalar: para um número real a e um vetor \vec{v}, o produto a\vec{v} é o vetor obtido multiplicando a magnitude de \vec{v} por |a|. Se a>0, a\vec{v} tem a mesma direção e sentido de \vec{v}; se a<0, a\vec{v} tem mesma direção mas sentido oposto (e magnitude |a|\cdot\|\vec{v}\|).
  • Definição de negativo de um vetor: -\vec{v} é exatamente (-1)\vec{v} — ou seja, o mesmo comprimento de \vec{v} mas sentido contrário.
  • Soma de vetores (regra do “cauda-para-ponta”): para somar \vec{a}+\vec{b}, coloca-se a cauda de \vec{b} na ponta de \vec{a}; a soma é o vetor que vai da cauda de \vec{a} até a ponta de \vec{b}.

Passo 3

Como representar graficamente -\vec{v} (resposta a)).
  1. Desenhe \vec{v}: escolha um ponto O (origem gráfica) e trace uma seta até um ponto A; essa seta é \vec{v}.
  2. Para -\vec{v}: a partir do mesmo ponto O desenhe uma seta com o mesmo comprimento de \vec{v} mas apontando na direção oposta (isto é, se \vec{v} aponta de O para A, então -\vec{v} aponta de O para o ponto simétrico de A em relação a O).
    Resumo em palavras simples: -\vec{v} = mesma seta que \vec{v} mas virada 180 graus (mesma magnitude, sentido oposto).

Passo 4

Mostrando que \vec{v}+(-\vec{v})=\overrightarrow{0} (resposta b)) — duas formas, geométrica e algébrica.
Método geométrico (intuitivo):
  1. Desenhe \vec{v} como em

Passo 5

  1. Desenhe -\vec{v} deslocado de forma que sua cauda esteja na ponta A (ou seja, aplique a regra cauda-para-ponta para somar \vec{v}+(-\vec{v})).
  2. A ponta de -\vec{v}, colocada assim, volta exatamente para o ponto O. Logo o vetor resultante, que vai da cauda de \vec{v} (ponto O) até a ponta de -\vec{v} (também O), é um vetor de comprimento zero — isto é \overrightarrow{0}.
Método algébrico (com componentes, para garantir rigor):
  1. Escreva \vec{v} em componentes: suponha \vec{v}=(v_1,v_2,\dots,v_n).
  2. Então -\vec{v}=(-v_1,-v_2,\dots,-v_n).
  3. Soma componente a componente:
\vec{v}+(-\vec{v})=(v_1+(-v_1),\,v_2+(-v_2),\dots,v_n+(-v_n))=(0,0,\dots,0)=\overrightarrow{0}.
Conclusão: geométrica e algebricamente \vec{v}+(-\vec{v})=\overrightarrow{0}.

Passo 6

Representando 3\vec{v}-2\vec{v} graficamente e mostrando o resultado (resposta c)).
  1. Primeiro transformar a subtração em soma: 3\vec{v}-2\vec{v}=3\vec{v}+(-2\vec{v}).
  2. Interpretação geométrica de 3\vec{v}: é um vetor na mesma direção de \vec{v} e com comprimento 3 vezes o de \vec{v}. Pode-se desenhar como três cópias consecutivas de \vec{v} colocadas cauda-para-ponta.
  3. Interpretação geométrica de -2\vec{v}: é (-1) vezes 2\vec{v}; tem comprimento 2 vezes \vec{v} e sentido oposto. Pode-se desenhar como duas cópias consecutivas de -\vec{v}.
  4. Agora some 3\vec{v} com -2\vec{v} usando a regra cauda-para-ponta: as duas cópias de -\vec{v} “cancela(m)” duas das cópias de \vec{v} que formam 3\vec{v}, sobrando exatamente uma cópia de \vec{v}.
  5. Portanto geometricamente o resultado é um vetor igual a \vec{v}. Algebricamente:
3\vec{v}-2\vec{v}=(3-2)\vec{v}=\vec{v}.
Exemplo concreto e trivial para visualizar: se \vec{v}=(1,0), então 3\vec{v}=(3,0) e -2\vec{v}=(-2,0); a soma é (1,0), que é \vec{v}.

Passo 7

Generalizando: prova de k\vec{v}-m\vec{v}=(k-m)\vec{v} (resposta d)), com explicação das propriedades usadas.
  1. Subtração como soma com oposto: por definição k\vec{v}-m\vec{v}=k\vec{v}+(-m\vec{v}).
  2. Uso da propriedade distributiva (propriedade básica de escalares sobre vetores): para quaisquer escalares a,b e vetor \vec{v} vale (a+b)\vec{v}=a\vec{v}+b\vec{v}. Aqui apliquei com a=k e b=-m.
  3. Assim
k\vec{v}+(-m)\vec{v}=(k+(-m))\vec{v}=(k-m)\vec{v}.
  1. Se quiser ver em componentes para confirmar: para \vec{v}=(v_1,\dots,v_n),
k\vec{v}=(kv_1,\dots,kv_n),\qquad m\vec{v}=(mv_1,\dots,mv_n),
então
k\vec{v}-m\vec{v}=(kv_1-mv_1,\dots,kv_n-mv_n)=((k-m)v_1,\dots,(k-m)v_n)=(k-m)\vec{v}.
Isto completa a demonstração.

Passo 8

Dica prática para a prova (rápida e amigável): sempre que vir algo do tipo a\vec{v}-b\vec{v}, pense em fatorar \vec{v} (ou em transformar a subtração em soma com negativo). Geometricamente, imaginar cópias de \vec{v} ajuda muito para ver cancelamentos. Força aí — tá indo bem!

Resposta

(a) Uma seta com a mesma magnitude de \vec{v} e sentido oposto a \vec{v}.
(b) \vec{v}+(-\vec{v})=\overrightarrow{0}
(c) 3\vec{v}-2\vec{v}=\vec{v} (representação gráfica: vetor igual a \vec{v})
(d) k\vec{v}-m\vec{v}=(k-m)\vec{v}

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