Considere
qualquer.
a) Represente
graficamente.
b) Mostre que
.
c) Represente
.
d) Generalize:
.
a) Represente
b) Mostre que
c) Represente
d) Generalize:
Passo 1
O enunciado dá uma única informação:
é um vetor qualquer. As perguntas são:
a) Representar graficamente .
b) Mostrar que .
c) Representar graficamente .
d) Generalizar e provar que .
a) Representar graficamente
b) Mostrar que
c) Representar graficamente
d) Generalizar e provar que
Passo 2
Entendendo os conceitos básicos que vou usar (explicação didática, passo a passo).
- Vetor: um segmento orientado representado por uma seta; tem direção, sentido e comprimento (magnitude). Vou denotar por
um vetor qualquer. - Vetor nulo:
é o vetor que não tem direção nem comprimento; na representação por coordenadas é . - Multiplicação por escalar: para um número real
e um vetor , o produto é o vetor obtido multiplicando a magnitude de por . Se , tem a mesma direção e sentido de ; se , tem mesma direção mas sentido oposto (e magnitude ). - Definição de negativo de um vetor:
é exatamente — ou seja, o mesmo comprimento de mas sentido contrário. - Soma de vetores (regra do “cauda-para-ponta”): para somar
, coloca-se a cauda de na ponta de ; a soma é o vetor que vai da cauda de até a ponta de .
Passo 3
Como representar graficamente
(resposta a)).
- Desenhe
: escolha um ponto (origem gráfica) e trace uma seta até um ponto ; essa seta é . - Para
: a partir do mesmo ponto desenhe uma seta com o mesmo comprimento de mas apontando na direção oposta (isto é, se aponta de para , então aponta de para o ponto simétrico de em relação a ).
Resumo em palavras simples:= mesma seta que mas virada 180 graus (mesma magnitude, sentido oposto).
Passo 4
Mostrando que
(resposta b)) — duas formas, geométrica e algébrica.
Método geométrico (intuitivo):
- Desenhe
como em
Passo 5
- Desenhe
deslocado de forma que sua cauda esteja na ponta (ou seja, aplique a regra cauda-para-ponta para somar ). - A ponta de
, colocada assim, volta exatamente para o ponto . Logo o vetor resultante, que vai da cauda de (ponto ) até a ponta de (também ), é um vetor de comprimento zero — isto é .
Método algébrico (com componentes, para garantir rigor):
- Escreva
em componentes: suponha . - Então
. - Soma componente a componente:
Conclusão: geométrica e algebricamente
.
Passo 6
Representando
graficamente e mostrando o resultado (resposta c)).
- Primeiro transformar a subtração em soma:
. - Interpretação geométrica de
: é um vetor na mesma direção de e com comprimento vezes o de . Pode-se desenhar como três cópias consecutivas de colocadas cauda-para-ponta. - Interpretação geométrica de
: é vezes ; tem comprimento vezes e sentido oposto. Pode-se desenhar como duas cópias consecutivas de . - Agora some
com usando a regra cauda-para-ponta: as duas cópias de “cancela(m)” duas das cópias de que formam , sobrando exatamente uma cópia de . - Portanto geometricamente o resultado é um vetor igual a
. Algebricamente:
Exemplo concreto e trivial para visualizar: se
, então
e
; a soma é
, que é
.
Passo 7
Generalizando: prova de
(resposta d)), com explicação das propriedades usadas.
- Subtração como soma com oposto: por definição
. - Uso da propriedade distributiva (propriedade básica de escalares sobre vetores): para quaisquer escalares
e vetor vale . Aqui apliquei com e . - Assim
- Se quiser ver em componentes para confirmar: para
,
então
Isto completa a demonstração.
Passo 8
Dica prática para a prova (rápida e amigável): sempre que vir algo do tipo
, pense em fatorar
(ou em transformar a subtração em soma com negativo). Geometricamente, imaginar cópias de
ajuda muito para ver cancelamentos. Força aí — tá indo bem!
Resposta
(a) Uma seta com a mesma magnitude de
e sentido oposto a
.
(b)
(c) (representação gráfica: vetor igual a
)
(d)
(b)
(c)
(d)