Dados vetores não colineares
e
.
Expresse o vetor nulo como
.
Expresse o vetor nulo como
Passo 1
O enunciado nos dá dois vetores não colineares
e
.
A pergunta é: expressar o vetor nulo utilizando a expressão .
Informações relevantes dadas:
A pergunta é: expressar o vetor nulo utilizando a expressão
Informações relevantes dadas:
- Existem os vetores
e . - Pede-se mostrar/expressar qual é o resultado de
.
Passo 2
Relembrando propriedades básicas de vetores (explicação bem mastigada):
- A soma de vetores é comutativa e associativa: para quaisquer vetores
vale e . - Para todo vetor
existe o inverso aditivo tal que
onde
é o vetor nulo (o vetor que somado a qualquer outro não altera esse outro).
- A subtração é definida como soma do inverso:
Vou usar essas propriedades passo a passo.
Passo 3
Começo reescrevendo a subtração como soma do inverso:
Isto é apenas aplicar
com
e
.
Passo 4
Agora uso a propriedade de que o inverso do somatório distribui:
Substituindo na expressão:
Pela associatividade e comutatividade da soma, posso agrupar os termos em pares que se anulam:
Cada par vale o vetor nulo, pois
. Assim
logo
Passo 5
(Um caminho alternativo, mais curto, que usa fatoração por escalares.) Note que
porque multiplicar um vetor por
dá o vetor nulo. É a mesma conclusão por outra rota.