Dados vetores não colineares vec{u} e vec{v}.
Expresse o vetor nulo como (\vec{u}+\vec{v})-(\vec{u}+\vec{v}).

Passo 1

O enunciado nos dá dois vetores não colineares \vec{u} e \vec{v}.
A pergunta é: expressar o vetor nulo utilizando a expressão (\vec{u}+\vec{v})-(\vec{u}+\vec{v}).
Informações relevantes dadas:
  • Existem os vetores \vec{u} e \vec{v}.
  • Pede-se mostrar/expressar qual é o resultado de (\vec{u}+\vec{v})-(\vec{u}+\vec{v}).

Passo 2

Relembrando propriedades básicas de vetores (explicação bem mastigada):
  • A soma de vetores é comutativa e associativa: para quaisquer vetores \vec{a},\vec{b},\vec{c} vale \vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a} e (\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c}).
  • Para todo vetor \vec{w} existe o inverso aditivo -\vec{w} tal que
\vec{w}+(-\vec{w})=\vec{0},
onde \vec{0} é o vetor nulo (o vetor que somado a qualquer outro não altera esse outro).
  • A subtração é definida como soma do inverso:
\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b}).
Vou usar essas propriedades passo a passo.

Passo 3

Começo reescrevendo a subtração como soma do inverso:
(\vec{u}+\vec{v})-(\vec{u}+\vec{v})=(\vec{u}+\vec{v})+ \bigl(-(\vec{u}+\vec{v})\bigr).
Isto é apenas aplicar \vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b}) com \vec{a}=\vec{u}+\vec{v} e \vec{b}=\vec{u}+\vec{v}.

Passo 4

Agora uso a propriedade de que o inverso do somatório distribui:
-(\vec{u}+\vec{v}) = -\vec{u} + (-\vec{v}).
Substituindo na expressão:
(\vec{u}+\vec{v})+(-\vec{u}+ -\vec{v}).
Pela associatividade e comutatividade da soma, posso agrupar os termos em pares que se anulam:
(\vec{u}+(-\vec{u})) + (\vec{v}+(-\vec{v})).
Cada par vale o vetor nulo, pois \vec{w}+(-\vec{w})=\vec{0}. Assim
\vec{u}+(-\vec{u})=\vec{0},\qquad \vec{v}+(-\vec{v})=\vec{0},
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(\vec{u}+(-\vec{u})) + (\vec{v}+(-\vec{v}))=\vec{0}+\vec{0}=\vec{0}.

Passo 5

(Um caminho alternativo, mais curto, que usa fatoração por escalares.) Note que
(\vec{u}+\vec{v})-(\vec{u}+\vec{v})=(1+(-1))(\vec{u}+\vec{v})=0\cdot(\vec{u}+\vec{v})=\vec{0},
porque multiplicar um vetor por 0 dá o vetor nulo. É a mesma conclusão por outra rota.

Resposta

\vec{0}

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