Quadrilátero A B C D (não necessariamente paralelogramo) com \overrightarrow{A B}=\vec{u}, \overrightarrow{B C}=\vec{v}, \overrightarrow{C D}=\vec{w}.
a) Expresse \overrightarrow{D A} para que o polígono feche ( \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{D A}=\overrightarrow{0} ).
b) Represente graficamente a soma \vec{u}+\vec{v}+\vec{w}.
c) Expresse a diagonal \overrightarrow{A C} como \vec{u}+\vec{v}.
d) Expresse a outra diagonal \overrightarrow{B D} como \vec{v}+\vec{w}-\vec{u} (diferença).

Passo 1

O enunciado nos dá um quadrilátero A B C D (não necessariamente especial) com as seguintes informações vetoriais:
  • \overrightarrow{A B}=\vec{u}.
  • \overrightarrow{B C}=\vec{v}.
  • \overrightarrow{C D}=\vec{w}.
O enunciado pede quatro coisas claras:
a) Encontrar \overrightarrow{D A} de modo que o polígono feche, isto é, que se tenha \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{D A}=\overrightarrow{0}.
b) Representar graficamente a soma \vec{u}+\vec{v}+\vec{w}.
c) Escrever a diagonal \overrightarrow{A C} em função de \vec{u} e \vec{v}.
d) Escrever a outra diagonal \overrightarrow{B D} em função de \vec{u},\vec{v},\vec{w} (mostrar uma expressão que envolva soma e/ou diferença).

Passo 2

Conceito útil (muito prático para a prova): vetores associados a lados de um polígono fecham numa soma nula. Isso significa que, seguindo os vértices na ordem, a soma das arestas vetoriais é o vetor nulo:
\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{D A}=\overrightarrow{0}.
Aqui cada soma é a regra “cabeça-cauda”: concatenar vetores seguindo o polígono. Usaremos isso diretamente para encontrar \overrightarrow{D A}.

Passo 3

Para responder (a) isolamos \overrightarrow{D A} na equação de fechamento:
\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{D A}=\overrightarrow{0}.
Substituindo \overrightarrow{A B}=\vec{u}, \overrightarrow{B C}=\vec{v}, \overrightarrow{C D}=\vec{w} obtemos
\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}+\overrightarrow{D A}=\overrightarrow{0}.
Isolando \overrightarrow{D A} vem:
\overrightarrow{D A}=-(\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}).
Interpretação: o vetor \overrightarrow{D A} é o oposto do somatório \vec{u}+\vec{v}+\vec{w}. Isso garante que, ao somar as quatro arestas, tenhamos zero.

Passo 4

Explicação didática da parte (b) — como representar graficamente \vec{u}+\vec{v}+\vec{w}:
  • Regra da soma de vetores (regra cabeça-cauda): para somar dois vetores, coloca-se a cauda do segundo na cabeça do primeiro; o vetor soma é o que vai da cauda do primeiro à cabeça do segundo.
  • Para somar três vetores em sequência, coloca-se a cauda de \vec{v} na cabeça de \vec{u}, depois a cauda de \vec{w} na cabeça de \vec{v}. O vetor resultante vai da cauda de \vec{u} até a cabeça de \vec{w}.
Aplicando ao nosso quadrilátero: se desenhar os pontos A,B,C,D na ordem dada, tem-se
  • \vec{u}=\overrightarrow{A B} vai de A a B.
  • \vec{v}=\overrightarrow{B C} vai de B a C.
  • \vec{w}=\overrightarrow{C D} vai de C a D.
Colocando-os cabeça-cauda (como estão no polígono), o resultante \vec{u}+\vec{v}+\vec{w} é o vetor que vai de A (cauda de \vec{u}) até D (cabeça de \vec{w}). Em símbolos:
\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}=\overrightarrow{A D}.
Observação geométrica: isso equivale ao fato intuitivo de que andar A\to B ( \vec{u} ), depois B\to C ( \vec{v} ) e depois C\to D ( \vec{w} ) é a mesma coisa que ir diretamente A\to D.

Passo 5

Detalhe prático de desenho (passo a passo para a prova, sem figura):
  1. Desenhe um ponto A.
  2. A partir de A desenhe o vetor \vec{u} até um ponto B.
  3. A partir de B desenhe \vec{v} até C.
  4. A partir de C desenhe \vec{w} até D.
  5. O vetor que une A a D (uma seta de A para D) é exatamente \vec{u}+\vec{v}+\vec{w}.

Passo 6

Para a parte (c) — diagonal \overrightarrow{A C}:
Use a mesma regra cabeça-cauda para dois vetores consecutivos ao longo do polígono: seguir A\to B e depois B\to C A\to C. Em termos vetoriais:
\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}=\vec{u}+\vec{v}.
Explicando: ir de A a B e em seguida a C é igual a ir diretamente de A a C.

Passo 7

Para a parte (d) — diagonal \overrightarrow{B D}:
Há duas maneiras naturais de ir de B a D:
  • Pelo caminho B\to C\to D, que dá
\overrightarrow{B D}=\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C D}=\vec{v}+\vec{w}.
Isto já é uma expressão correta, simples e direta.
Também podemos reescrever essa mesma expressão subtraindo e somando \vec{u} para obter uma forma que envolva uma diferença (útil quando pedem “diferença”):
\overrightarrow{B D}=\vec{v}+\vec{w}=(\vec{u}+\vec{v}+\vec{w})-\vec{u}.
Como vimos em (b), \vec{u}+\vec{v}+\vec{w}=\overrightarrow{A D}, então essa reescrita é apenas \overrightarrow{B D}=\overrightarrow{A D}-\vec{u}. Ambas as formas são equivalentes; a forma direta mais curta é \overrightarrow{B D}=\vec{v}+\vec{w}.

Resposta

\overrightarrow{D A}=-(\vec{u}+\vec{v}+\vec{w})
\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}=\overrightarrow{A D}
\overrightarrow{A C}=\vec{u}+\vec{v}
\overrightarrow{B D}=\vec{v}+\vec{w}

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