Considere A=(ccc2 & -1 & 3 0 & 4 & 5 -2 & 1 & 4), B=(ccc8 & -3 & -5 0 & 1 & 2 4 & -7 & 6), C=(ccc0 & -2 & 3 1 & 7 & 4 3 & 9 & 9) e k=4. Verifique se:
a) (A cdot B) cdot C=A cdot(B cdot C)
b) k cdot(B-C)=k cdot B-k cdot C
c) tr(A+B)=tr A+tr B
d) tr(A cdot C)=tr A cdot tr C

Passo 1

O enunciado nos dá as matrizes
A=2 & -1 & 3 [6pt] 0 & 4 & 5 [6pt] -2 & 1 & 4, B=8 & -3 & -5 [6pt] 0 & 1 & 2 [6pt] 4 & -7 & 6, C=0 & -2 & 3 [6pt] 1 & 7 & 4 [6pt] 3 & 9 & 9
e o escalar k=4. Precisamos verificar as seguintes propriedades de álgebra linear:
a) associatividade da multiplicação de matrizes,
b) distributividade da multiplicação escalar sobre subtração,
c) aditividade do traço,
d) se o traço transforma produto de matrizes em produto de traços.]

Passo 2

Verificar a associatividade de A, B e C. Em teoria de matrizes sabe-se que
(Acdot B)cdot C = Acdot(Bcdot C)
para quaisquer matrizes compatíveis de dimensões. Logo, a) é verdadeira.

Passo 3

Verificar a distributividade escalar:
kcdot(B-C) = 4,(B-C) = 4B - 4C = kcdot B - kcdot C
Essa propriedade vale para qualquer escalar k e matrizes B,C. Logo, b) é verdadeira.

Passo 4

Verificar aditividade do traço. Para quaisquer matrizes A,B quadradas de mesma ordem,
tr(A+B) = tr(A) + tr(B)
Isso é uma propriedade padrão do traço. Logo, c) é verdadeira.

Passo 5

Verificar se tr(Acdot C)=tr(A),tr(C). Primeiro calculamos
tr(A)=2+4+4=10, tr(C)=0+7+9=16,
logo
tr(A),tr(C)=10cdot16=160
Agora, multiplicando A por C obtemos
AC= 8 & 16 & 29 [4pt] 19 & 73 & 61 [4pt] 13 & 47 & 34 ,
portanto
tr(AC)=8+73+34=115neq160
Logo, d) é falsa.]

Resposta

a) verdadeira
b) verdadeira
c) verdadeira
d) falsa

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