Considere e k=4. Verifique se:
a) (A cdot B) cdot C=A cdot(B cdot C)
b) k cdot(B-C)=k cdot B-k cdot C
c) tr(A+B)=tr A+tr B
d) tr(A cdot C)=tr A cdot tr C
e o escalar k=4. Precisamos verificar as seguintes propriedades de álgebra linear:
a) associatividade da multiplicação de matrizes,
b) distributividade da multiplicação escalar sobre subtração,
c) aditividade do traço,
d) se o traço transforma produto de matrizes em produto de traços.]
Passo 2
Verificar a associatividade de A, B e C. Em teoria de matrizes sabe-se que
(Acdot B)cdot C = Acdot(Bcdot C)
para quaisquer matrizes compatíveis de dimensões. Logo, a) é verdadeira.
Passo 3
Verificar a distributividade escalar:
kcdot(B-C) = 4,(B-C) = 4B - 4C = kcdot B - kcdot C
Essa propriedade vale para qualquer escalar k e matrizes B,C. Logo, b) é verdadeira.
Passo 4
Verificar aditividade do traço. Para quaisquer matrizes A,B quadradas de mesma ordem,
tr(A+B) = tr(A) + tr(B)
Isso é uma propriedade padrão do traço. Logo, c) é verdadeira.
Passo 5
Verificar se tr(Acdot C)=tr(A),tr(C). Primeiro calculamos