Esboce a hipérbole com vértices (1,1) e (-1,-1) e focos (2,2) e (-2,-2). Utilizando a definição de hipérbole como lugar geométrico no plano, determine a equação dessa hipérbole. Determine o ângulo de rotação e reescreva a equação da hipérbole em uma forma desprovida do termo misto.

Passo 1

O enunciado nos dá uma hipérbole cujos vértices são (1,1) e (-1,-1) e cujos focos são (2,2) e (-2,-2). Queremos usar a definição de hipérbole como lugar geométrico—isto é, a diferença das distâncias a dois focos é constante—para achar sua equação no plano xy, determinar o ângulo de rotação dos eixos principal e secundário em relação aos eixos x,y e, por fim, reescrever a equação sem o termo misto xy.

Passo 2

Primeiro encontramos o centro da hipérbole e os parâmetros a, c e b.
O centro é o ponto médio dos focos, isto é,
C = l(tfrac2 + (-2)2,;tfrac2 + (-2)2r) = (0,0)
Cada vértice está a distância
a = raiz(1-0)^2 + (1-0)^2 = raiz2
do centro. Cada foco está a distância
c = raiz(2-0)^2 + (2-0)^2 = 2raiz2
do centro. Como em uma hipérbole c^2 = a^2 + b^2, temos
b^2 = c^2 - a^2 = (2raiz2)^2 - (raiz2)^2 = 8 - 2 = 6

Passo 3

O eixo transverso da hipérbole é a reta que passa pelos vértices (1,1) e (-1,-1). Sua inclinação é
m = 1 - (-1)1 - (-1) = 1,
logo o ângulo de rotação em relação ao eixo x é
phi = arctan(1) = 45^circ

Passo 4

Em coordenadas giradas (X,Y), com o eixo X alinhado ao eixo transverso, a hipérbole tem a forma padrão
X^2a^2 - Y^2b^2 = 1
Substituindo a^2 = 2 e b^2 = 6, obtém-se
X^22 ;-;Y^26 ;=; 1

Passo 5

As relações entre as variáveis giradas e as originais são
X = xcosphi + ysinphi1 = x + yraiz2, Y = -xsinphi + ycosphi1 = -x + yraiz2
Substituindo em tfracX^22 - tfracY^26 = 1 obtemos
l(tfracx+yraiz2r)^22 -l(tfracy-xraiz2r)^26 =1 Longrightarrow (x+y)^24 - (y - x)^212 = 1
Multiplicando por 12 e simplificando, chega-se à forma geral em x,y:
x^2 + 4xy + y^2 = 6

Passo 6

A forma sem termo misto é justamente a equação na base girada (X,Y), já que ali não há XY:
X^22 ;-;Y^26 ;=; 1, X = x+yraiz2, Y = y - xraiz2

Resposta

Equação geral em x,y:
x^2 + 4xy + y^2 = 6
Ângulo de rotação:
phi = 45^circ
Forma sem termo misto em eixos girados (X,Y):
X^22 - Y^26 = 1, X = x+yraiz2, Y = y - xraiz2

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