Esboce a hipérbole com vértices
e
e focos
e
. Utilizando a definição de hipérbole como lugar geométrico no plano, determine a equação dessa hipérbole. Determine o ângulo de rotação e reescreva a equação da hipérbole em uma forma desprovida do termo misto.
Passo 1
O enunciado nos dá uma hipérbole cujos vértices são
e
e cujos focos são
e
. Queremos usar a definição de hipérbole como lugar geométrico—isto é, a diferença das distâncias a dois focos é constante—para achar sua equação no plano
, determinar o ângulo de rotação dos eixos principal e secundário em relação aos eixos
e, por fim, reescrever a equação sem o termo misto
.
Passo 2
Primeiro encontramos o centro da hipérbole e os parâmetros
,
e
.
O centro é o ponto médio dos focos, isto é,
O centro é o ponto médio dos focos, isto é,
Cada vértice está a distância
do centro. Cada foco está a distância
do centro. Como em uma hipérbole
, temos
Passo 3
O eixo transverso da hipérbole é a reta que passa pelos vértices
e
. Sua inclinação é
logo o ângulo de rotação em relação ao eixo
é
Passo 4
Em coordenadas giradas
, com o eixo
alinhado ao eixo transverso, a hipérbole tem a forma padrão
Substituindo
e
, obtém-se
Passo 5
As relações entre as variáveis giradas e as originais são
Substituindo em
obtemos
Multiplicando por
e simplificando, chega-se à forma geral em
:
Passo 6
A forma sem termo misto é justamente a equação na base girada
, já que ali não há
:
Resposta
Equação geral em
:
Ângulo de rotação:
Forma sem termo misto em eixos girados
: