Considere o vetor posição dado por:
r(t)=(3 c m+2 c ms t) x+(1 c m+4 c ms t) y
a) obtenha o vetor velocidade
v
.
Res.:
v=2 c ms x+4 c ms y
b) Obtenha as posições nos instantes,
t=0 s, t=2 s
e
t=3 s
. Faça um gráfico
x times y
e ligue os pontos.
c) obtenha a equação da trajetória
y(x)
.
y(x)=-5+2 x
d) Verifique se essa equação fornece as mesmas posições encontradas no item a).

Passo 1

O enunciado nos dá a posição
vec r(t)=(3;cm+2;cms,t),hat x+(1;cm+4;cms,t),hat y
e pede:
a) o vetor velocidade vec v pela derivada de vec r(t);
b) as posições em t=0, 2 e 3 s e o gráfico xtimes y ligando os pontos;
c) a equação da trajetória y(x) eliminando t;
d) verificar se essa equação recupera as posições de (b).

Passo 2

Para a velocidade usamos
vec v=dvec rdt
Derivando componente a componente temos
tfracddt(3+2t)=2 e tfracddt(1+4t)=4, ambos em tfraccms.
Logo
vec v=2;cms;hat x+4;cms;hat y

Passo 3

Substituímos em vec r(t):
  • Em t=0:
    vec r(0)=(3,cm)hat x+(1,cm)hat y.
  • Em t=2:
    vec r(2)=(3+2cdot2),cm,hat x+(1+4cdot2),cm,hat y=(7,cm)hat x+(9,cm)hat y.
  • Em t=3:
    vec r(3)=(3+2cdot3),cm,hat x+(1+4cdot3),cm,hat y=(9,cm)hat x+(13,cm)hat y.
    No plano xtimes y são os pontos (3,1), (7,9) e (9,13) (cm) e ligando-os obtemos uma reta.

Passo 4

Para achar y(x) escrevemos
x=3+2t, y=1+4t
De x=3+2t vem t=x-32. Substituindo em y=1+4t:
y=1+4x-32=1+2(x-3)=2x-5
Portanto
y(x)=-5+2x

Passo 5

Verificamos nos pontos de (b):
  • Para x=3 temos y=-5+2cdot3=1.
  • Para x=7 temos y=-5+2cdot7=9.
  • Para x=9 temos y=-5+2cdot9=13.
    Esses valores coincidem com as posições em t=0,2,3, confirmando a equação da trajetória.

Resposta

a) vec v=2;cms;hat x+4;cms;hat y
b) vec r(0)=(3,cm,1,cm), vec r(2)=(7,cm,9,cm), vec r(3)=(9,cm,13,cm). No gráfico xtimes y esses pontos formam uma reta.
c) y(x)=-5+2x
d) Substituindo x=3,7,9 em y=-5+2x obtemos y=1,9,13, iguais às posições de (b).

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