Mostre que a transposta de um produto satisfaz:
(A B)^{T}=B^{T} A^{T}

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes A e B tais que o produto AB está definido. Especificamente:
  • Seja A de dimensão m\times p.
  • Seja B de dimensão p\times n.
    O que precisa ser mostrado é a igualdade
(AB)^{T}=B^{T}A^{T}.
Também registramos que as entradas de A serão denotadas por a_{ij} e as de B por b_{ij}.

Passo 2

Definição de transposta (aula rápida e concreta). Se M é uma matriz com entradas m_{ij}, a transposta M^{T} é a matriz cuja entrada na linha i e coluna j é
(M^{T})_{ij}=m_{ji}.
Isto significa que a transposição troca linhas por colunas: a linha i de M^{T} é a coluna i de M. Exemplo simbólico para fixar a ideia: se
M=\begin{pmatrix}m_{11}&m_{12}\\[4pt]m_{21}&m_{22}\end{pmatrix}, \qquad M^{T}=\begin{pmatrix}m_{11}&m_{21}\\[4pt]m_{12}&m_{22}\end{pmatrix}.]

Passo 3

Definição do produto de matrizes (outra aula curta). Para A de dimensão m\times p e B de dimensão p\times n, a entrada de índice i,j do produto AB é dada por
(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{p} a_{ik}\,b_{kj}.
Aqui k percorre as colunas de A (ou as linhas de B); é a soma dos produtos dos elementos correspondentes da linha i de A com a coluna j de B.

Passo 4

Calcular a entrada genérica de (AB)^{T}. Pela definição de transposta,
\bigl((AB)^{T}\bigr)_{ij}=(AB)_{ji}.
Usando a fórmula do produto de matrizes para (AB)_{ji} obtemos
(AB)_{ji}=\sum_{k=1}^{p} a_{jk}\,b_{ki}.

Passo 5

Calcular a entrada genérica de B^{T}A^{T}. Aplicando a fórmula do produto de matrizes a B^{T}A^{T} temos
\bigl(B^{T}A^{T}\bigr)_{ij}=\sum_{k=1}^{p} (B^{T})_{ik}\,(A^{T})_{kj}.
Agora usar a definição da transposta em cada fator: (B^{T})_{ik}=b_{ki} e (A^{T})_{kj}=a_{jk}. Substituindo:
\bigl(B^{T}A^{T}\bigr)_{ij}=\sum_{k=1}^{p} b_{ki}\,a_{jk}.

Passo 6

Comparando as expressões obtidas nos passos anteriores:
\bigl((AB)^{T}\bigr)_{ij}=\sum_{k=1}^{p} a_{jk}\,b_{ki} \qquad\text{e}\qquad \bigl(B^{T}A^{T}\bigr)_{ij}=\sum_{k=1}^{p} b_{ki}\,a_{jk}.
Como a multiplicação de escalares é comutativa, a_{jk}\,b_{ki}=b_{ki}\,a_{jk} para cada k. Assim os somatórios são iguais para todo i e j, ou seja,
\bigl((AB)^{T}\bigr)_{ij}=\bigl(B^{T}A^{T}\bigr)_{ij}\quad\text{para todos }i,j.

Passo 7

Concluir igualdade de matrizes. Duas matrizes são iguais quando todas as suas entradas correspondentes são iguais. Como para todos i,j vale \bigl((AB)^{T}\bigr)_{ij}=\bigl(B^{T}A^{T}\bigr)_{ij}, segue que
(AB)^{T}=B^{T}A^{T}.
Além disso, conferimos as dimensões: (AB)^{T} tem dimensão n\times m e B^{T}A^{T} também tem dimensão n\times m, consistente com a igualdade.

Passo 8

Exemplo numérico pequeno (para intuição). Tome
A=\begin{pmatrix}1&2\\[4pt]3&4\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}0&5\\[4pt]6&7\end{pmatrix}.
Calcula-se
AB=\begin{pmatrix}12&19\\[4pt]24&43\end{pmatrix},\qquad (AB)^{T}=\begin{pmatrix}12&24\\[4pt]19&43\end{pmatrix}.
Por outro lado
B^{T}=\begin{pmatrix}0&6\\[4pt]5&7\end{pmatrix},\qquad A^{T}=\begin{pmatrix}1&3\\[4pt]2&4\end{pmatrix},
B^{T}A^{T}=\begin{pmatrix}12&24\\[4pt]19&43\end{pmatrix}=(AB)^{T}.
Isto ilustra concretamente a igualdade e mostra por que a ordem dos fatores se inverte na transposição.]

Resposta

(AB)^{T}=B^{T}A^{T}

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