Mostre que a transposta de um produto satisfaz:
Passo 1
O enunciado dá duas matrizes
e
tais que o produto
está definido. Especificamente:
- Seja
de dimensão . - Seja
de dimensão .
O que precisa ser mostrado é a igualdade
Também registramos que as entradas de
serão denotadas por
e as de
por
.
Passo 2
Definição de transposta (aula rápida e concreta). Se
é uma matriz com entradas
, a transposta
é a matriz cuja entrada na linha
e coluna
é
Isto significa que a transposição troca linhas por colunas: a linha
de
é a coluna
de
. Exemplo simbólico para fixar a ideia: se
Passo 3
Definição do produto de matrizes (outra aula curta). Para
de dimensão
e
de dimensão
, a entrada de índice
do produto
é dada por
Aqui
percorre as colunas de
(ou as linhas de
); é a soma dos produtos dos elementos correspondentes da linha
de
com a coluna
de
.
Passo 4
Calcular a entrada genérica de
. Pela definição de transposta,
Usando a fórmula do produto de matrizes para
obtemos
Passo 5
Calcular a entrada genérica de
. Aplicando a fórmula do produto de matrizes a
temos
Agora usar a definição da transposta em cada fator:
e
. Substituindo:
Passo 6
Comparando as expressões obtidas nos passos anteriores:
Como a multiplicação de escalares é comutativa,
para cada
. Assim os somatórios são iguais para todo
e
, ou seja,
Passo 7
Concluir igualdade de matrizes. Duas matrizes são iguais quando todas as suas entradas correspondentes são iguais. Como para todos
vale
, segue que
Além disso, conferimos as dimensões:
tem dimensão
e
também tem dimensão
, consistente com a igualdade.
Passo 8
Exemplo numérico pequeno (para intuição). Tome
Calcula-se
Por outro lado
Isto ilustra concretamente a igualdade e mostra por que a ordem dos fatores se inverte na transposição.]