Utilizando a fórmula
, calcule a áre das seguintes regiões:
é a região delimitada pelas retas
e
e pela curva
.
Passo 1
O enunciado pede a área da região
e nos dá as curvas que a delimitam. Vou listar claramente o que foi fornecido e o que se pede:
- A região
é limitada pelas retas , e , e pela curva . - As interseções entre essas curvas ocorrem onde coincidem os pares:
- entre
e : , ponto ; - entre
e : , ponto ; - a reta
cruza e nos pontos e .
- entre
- O contorno
é formado por quatro trechos que se conectam em ordem: → (segmento inferior), → (arco da curva ), → (segmento superior), → (segmento vertical). - O enunciado fornece a fórmula a ser usada para calcular a área:
- O que se pede: calcular numericamente
.
Passo 2
Entendendo a fórmula
(pequena aula): por que isso dá a área?
- Pelo Teorema de Green (forma planar), para um campo vetorial
vale - Se escolhermos
e então e portanto - Observação importante sobre orientação: a fórmula exige orientação positiva (contra-horária, interior sempre à esquerda ao percorrer
). Se a curva for percorrida no sentido oposto, o resultado terá sinal trocado.
Passo 3
Escolher uma parametrização conveniente e a orientação positiva (contrária ao relógio).
Vou percorrer
no sentido anti-horário, partindo de
. Os quatro trechos com suas parametrizações mais simples são:
- Trecho
: segmento inferior , de até . Parâmetro será , , com de a . - Trecho
: curva entre e . Como a curva é melhor descrita por , é natural parametrizar por , , com de a . - Trecho
: segmento superior , de até . Parâmetro será , , com de a . - Trecho
: segmento vertical , de até . Parâmetro será , , com de a .
Para cada trecho calcularemos
e somaremos.
Passo 4
Calcular
trecho a trecho.
Trecho
(inferior):
.
- Aqui
porque é constante. - Então
Passo 5
Trecho
(curva parabólica): parametrização
.
- Temos
. - Portanto
- Calcule a integral passo a passo:
Passo 6
Trecho
(superior):
(note que
vai de
até
para percorrer da direita para a esquerda).
- Novamente
porque é constante. - Então
Passo 7
Trecho
(vertical esquerdo):
(descendo).
- Aqui
identicamente, então . - Assim
Passo 8
Somando os quatro trechos:
Portanto a área de
é
.