Utilizando a fórmula A(D)=\oint_{\partial D} x d y, calcule a áre das seguintes regiões:
D é a região delimitada pelas retas x=0, y=1 e y=3 e pela curva y^{2}=x.

Passo 1

O enunciado pede a área da região D e nos dá as curvas que a delimitam. Vou listar claramente o que foi fornecido e o que se pede:
  • A região D é limitada pelas retas x=0, y=1 e y=3, e pela curva y^{2}=x.
  • As interseções entre essas curvas ocorrem onde coincidem os pares:
    • entre y^{2}=x e y=1: x=1, ponto (1,1);
    • entre y^{2}=x e y=3: x=9, ponto (9,3);
    • a reta x=0 cruza y=1 e y=3 nos pontos (0,1) e (0,3).
  • O contorno \partial D é formado por quatro trechos que se conectam em ordem: (0,1) (1,1) (segmento inferior), (1,1) (9,3) (arco da curva y^{2}=x), (9,3) (0,3) (segmento superior), (0,3) (0,1) (segmento vertical).
  • O enunciado fornece a fórmula a ser usada para calcular a área: A(D)=\oint_{\partial D} x\,dy.
  • O que se pede: calcular numericamente A(D).

Passo 2

Entendendo a fórmula A(D)=\oint_{\partial D} x\,dy (pequena aula): por que isso dá a área?
  • Pelo Teorema de Green (forma planar), para um campo vetorial (L,M) vale \oint_{\partial D} L\,dx+M\,dy=\iint_{D}\left(\frac{\partial M}{\partial x}-\frac{\partial L}{\partial y}\right)dA.
  • Se escolhermos L=0 e M=x então \frac{\partial M}{\partial x}-\frac{\partial L}{\partial y}=\frac{\partial x}{\partial x}-0=1,e portanto \oint_{\partial D} x\,dy=\iint_{D}1\,dA= \text{área}(D).á
  • Observação importante sobre orientação: a fórmula exige orientação positiva (contra-horária, interior sempre à esquerda ao percorrer \partial D). Se a curva for percorrida no sentido oposto, o resultado terá sinal trocado.

Passo 3

Escolher uma parametrização conveniente e a orientação positiva (contrária ao relógio).
Vou percorrer \partial D no sentido anti-horário, partindo de (0,1). Os quatro trechos com suas parametrizações mais simples são:
  • Trecho C_1: segmento inferior y=1, de (0,1) até (1,1). Parâmetro t será x=t, y=1, com t de 0 a 1.
  • Trecho C_2: curva y^{2}=x entre (1,1) e (9,3). Como a curva é melhor descrita por x=y^{2}, é natural parametrizar por y=t, x=t^{2}, com t de 1 a 3.
  • Trecho C_3: segmento superior y=3, de (9,3) até (0,3). Parâmetro t será x=t, y=3, com t de 9 a 0.
  • Trecho C_4: segmento vertical x=0, de (0,3) até (0,1). Parâmetro t será y=t, x=0, com t de 3 a 1.
Para cada trecho calcularemos \int x\,dy e somaremos.

Passo 4

Calcular \displaystyle \oint_{\partial D} x\,dy=\sum_{i=1}^{4}\int_{C_i} x\,dy trecho a trecho.
Trecho C_1 (inferior): x=t,\; y=1,\; t\in[0,1].
  • Aqui dy=0 porque y é constante.
  • Então \int_{C_1} x\,dy=\int_{0}^{1} t\cdot 0\,dt=0.

Passo 5

Trecho C_2 (curva parabólica): parametrização y=t,\; x=t^{2},\; t\in[1,3].
  • Temos dy=dt.
  • Portanto \int_{C_2} x\,dy=\int_{t=1}^{3} t^{2}\,dt.
  • Calcule a integral passo a passo: \int_{1}^{3} t^{2}\,dt=\left[\frac{t^{3}}{3}\right]_{1}^{3}=\frac{3^{3}-1^{3}}{3}=\frac{27-1}{3}=\frac{26}{3}.

Passo 6

Trecho C_3 (superior): x=t,\; y=3,\; t\in[9,0] (note que t vai de 9 até 0 para percorrer da direita para a esquerda).
  • Novamente dy=0 porque y é constante.
  • Então \int_{C_3} x\,dy=\int_{9}^{0} t\cdot 0\,dt=0.

Passo 7

Trecho C_4 (vertical esquerdo): x=0,\; y=t,\; t\in[3,1] (descendo).
  • Aqui x=0 identicamente, então x\,dy=0.
  • Assim \int_{C_4} x\,dy=\int_{3}^{1} 0\cdot dt=0.

Passo 8

Somando os quatro trechos:
\oint_{\partial D} x\,dy=\int_{C_1}+\int_{C_2}+\int_{C_3}+\int_{C_4} = 0+\frac{26}{3}+0+0=\frac{26}{3}.
Portanto a área de D é \dfrac{26}{3}.

Resposta

\dfrac{26}{3}

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