Considere um vetor \vec{a} no sentido positivo do eixo x, um vetor \vec{b} no sentido positivo do eixo y, e um escalar d.
Qual é a orientação do vetor \vec{a} \times \vec{b} ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • \vec{a} é um vetor apontando no sentido positivo do eixo x.
  • \vec{b} é um vetor apontando no sentido positivo do eixo y.
  • Há também um escalar d (não especificado como aplicado, provavelmente só para lembrar que escalares aparecem).
    A pergunta é: qual é a orientação (direção) do vetor \vec{a}\times\vec{b}?

Passo 2

Vamos representar os eixos por vetores unitários padrão:
  • \hat{\imath} para o eixo x (sentido positivo),
  • \hat{\jmath} para o eixo y (sentido positivo),
  • \hat{k} para o eixo z (sentido positivo).
Como \vec{a} está no sentido positivo de x, podemos escrever
\vec{a} = |\vec{a}|\,\hat{\imath},
onde |\vec{a}| é a magnitude (um número positivo ou nulo). Analogamente, como \vec{b} está no sentido positivo de y,
\vec{b} = |\vec{b}|\,\hat{\jmath}.
Aqui |\vec{a}| e |\vec{b}| são apenas as normas (comprimentos) dos vetores; a orientação fica só pelo fato de serem múltiplos de \hat{\imath} e \hat{\jmath}.

Passo 3

Vou lembrar as propriedades do produto vetorial úteis para a prova:
  • Linearidade em cada argumento: (c\vec{u})\times\vec{v}=c(\vec{u}\times\vec{v}) para escalar c.
  • Antissimetria: \vec{u}\times\vec{v} = -(\vec{v}\times\vec{u}).
  • Produto das base canônicas (regra do dedo direito / ciclo): \hat{\imath}\times\hat{\jmath}=\hat{k}, \hat{\jmath}\times\hat{k}=\hat{\imath}, \hat{k}\times\hat{\imath}=\hat{\jmath}. Invertendo a ordem muda o sinal.
Também se quiser ver a definição componente a componente, há a forma determinantal:
\vec{u}\times\vec{v}= \begin{vmatrix} \hat{\imath} & \hat{\jmath} & \hat{k} \\\ u_x & u_y & u_z \\\ v_x & v_y & v_z \end{vmatrix},
que dá a componente em x, y, z do produto vetorial. Aqui u_x,u_y,u_z e v_x,v_y,v_z são as componentes de \vec{u} e \vec{v}.

Passo 4

Agora aplicamos isso ao caso dado. Usando linearidade:
\vec{a}\times\vec{b} = \bigl(|\vec{a}|\,\hat{\imath}\bigr)\times\bigl(|\vec{b}|\,\hat{\jmath}\bigr) = |\vec{a}|\,|\vec{b}|\,\bigl(\hat{\imath}\times\hat{\jmath}\bigr).
Pela regra das bases, \hat{\imath}\times\hat{\jmath}=\hat{k}. Logo
\vec{a}\times\vec{b} = |\vec{a}|\,|\vec{b}|\,\hat{k}.
Isso mostra que o vetor resultante aponta no sentido positivo do eixo z e seu comprimento é |\vec{a}|\,|\vec{b}| (no caso em que \vec{a} e \vec{b} são perpendiculares, como aqui).

Passo 5

Um comentário sobre o escalar d: se, por exemplo, tivéssemos (d\vec{a})\times\vec{b}, pela propriedade de linearidade seria
(d\vec{a})\times\vec{b} = d(\vec{a}\times\vec{b}).
Ou seja, multiplicar \vec{a} por um escalar positivo mantém a mesma direção; se o escalar for negativo, inverte a direção (multiplica por -1). Mas no enunciado original, sem especificar aplicação de d, a orientação de \vec{a}\times\vec{b} não depende de d.

Resposta

No sentido positivo do eixo z; isto é, ao longo de \hat{k} (ou seja, \vec{a}\times\vec{b}=|\vec{a}|\,|\vec{b}|\,\hat{k}).

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