Considere um vetor \vec{a} no sentido positivo do eixo x, um vetor \vec{b} no sentido positivo do eixo y, e um escalar d.
Qual é a orientação do vetor \vec{b} \times \vec{a} ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • \vec{a} está no sentido positivo do eixo x.
  • \vec{b} está no sentido positivo do eixo y.
  • Há também um escalar d mencionado (não é necessário para esta pergunta).
    A pergunta é: qual é a orientação do vetor \vec{b}\times\vec{a}?

Passo 2

Relembre propriedades básicas do produto vetorial (cross product):
  • O produto vetorial \vec{u}\times\vec{v} é um vetor perpendicular a \vec{u} e a \vec{v}.
  • A magnitude é |\vec{u}\times\vec{v}|=|\vec{u}|\,|\vec{v}|\sin\theta, onde \theta é o ângulo entre \vec{u} e \vec{v}.
  • A direção é dada pela regra da mão direita: apontando o dedo indicador em \vec{u} e o dedo médio em \vec{v}, o polegar indica \vec{u}\times\vec{v}.
  • O produto vetorial é anti-comutativo: \vec{u}\times\vec{v} = -(\vec{v}\times\vec{u}).
  • Para os versores padrão num sistema de coordenadas direitas vale:
    \hat{\mathbf{i}}\times\hat{\mathbf{j}}=\hat{\mathbf{k}},
    \hat{\mathbf{j}}\times\hat{\mathbf{k}}=\hat{\mathbf{i}},
    \hat{\mathbf{k}}\times\hat{\mathbf{i}}=\hat{\mathbf{j}}.

Passo 3

Vamos escrever \vec{a} e \vec{b} em componentes usando os versores padrão:
\vec{a}=|\vec{a}|\,\hat{\mathbf{i}},\qquad \vec{b}=|\vec{b}|\,\hat{\mathbf{j}},
onde |\vec{a}| e |\vec{b}| são as magnitudes (positivas, já que os vetores apontam nos sentidos positivos dos eixos).
Calcule \vec{b}\times\vec{a}:
\vec{b}\times\vec{a}=|\vec{b}|\,|\vec{a}|\,(\hat{\mathbf{j}}\times\hat{\mathbf{i}}).
Usando a anti-comutatividade e \hat{\mathbf{i}}\times\hat{\mathbf{j}}=\hat{\mathbf{k}} obtemos
\hat{\mathbf{j}}\times\hat{\mathbf{i}} = -(\hat{\mathbf{i}}\times\hat{\mathbf{j}}) = -\hat{\mathbf{k}}.
Portanto
\vec{b}\times\vec{a} = -\,|\vec{a}|\,|\vec{b}|\,\hat{\mathbf{k}}.
A orientação é ao longo do eixo z, no sentido negativo (versor -\hat{\mathbf{k}}).
Interpretação pela regra da mão direita (pra você lembrar na prova): aponte o dedo indicador na direção de \vec{b} (para o {+}y), o dedo médio na direção de \vec{a} (para o {+}x); o polegar então apontará para -z. Logo \vec{b}\times\vec{a} aponta no sentido negativo do eixo z.
Exemplo rápido para fixar: se |\vec{a}|=1 e |\vec{b}|=1 então \vec{b}\times\vec{a}=-\hat{\mathbf{k}}. Sentido: para dentro da página se \hat{\mathbf{k}} estiver saindo da página.

Resposta

-\hat{\mathbf{k}} (ou seja, no sentido negativo do eixo z).

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