Considere um vetor \vec{a} no sentido positivo do eixo x, um vetor \vec{b} no sentido positivo do eixo y, e um escalar d.
Supondo que d seja positivo, qual é o módulo do vetor \vec{a} \times \vec{b} / d ?

Passo 1

O enunciado pede o módulo do vetor \dfrac{\vec{a}\times\vec{b}}{d} sabendose que:
  • \vec{a} aponta no sentido positivo do eixo x.
  • \vec{b} aponta no sentido positivo do eixo y.
  • d é um escalar positivo ( d>0).
As perguntas implícitas são: qual é o módulo do produto vetorial \vec{a}\times\vec{b} e, depois, qual é o módulo do mesmo vetor dividido pelo escalar d.

Passo 2

Lembrete da fórmula essencial: o módulo do produto vetorial entre dois vetores é dado por
\|\vec{u}\times\vec{v}\|=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\sin\theta,
onde:
  • \|\vec{u}\| é o módulo (comprimento) do vetor \vec{u},
  • \|\vec{v}\| é o módulo do vetor \vec{v},
  • \theta é o ângulo menor entre \vec{u} e \vec{v},
  • \sin\theta é o seno desse ângulo.
Explicando devagar: essa fórmula mede “área” do paralelogramo formado por \vec{u} e \vec{v}; se os vetores são perpendiculares, \sin\theta=1 e o produto vetorial tem módulo máximo \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|.

Passo 3

Identificar o ângulo entre \vec{a} e \vec{b}. Como \vec{a} aponta para o eixo x positivo e \vec{b} para o eixo y positivo, o ângulo entre eles é \theta=90^\circ. Em termos trigonométricos,
\sin\theta=\sin 90^\circ = 1.

Passo 4

Aplicando a fórmula do módulo do produto vetorial ao caso \vec{a} e \vec{b}:
\|\vec{a}\times\vec{b}\|=\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|\sin 90^\circ=\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\| \cdot 1=\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|.
Aqui \|\vec{a}\| é o comprimento de \vec{a} e \|\vec{b}\| é o comprimento de \vec{b}.

Passo 5

Agora dividimos o vetor \vec{a}\times\vec{b} pelo escalar positivo d. Ao dividir um vetor por um escalar positivo, o módulo do resultado é o módulo original dividido pelo mesmo escalar. Assim, o módulo de \dfrac{\vec{a}\times\vec{b}}{d} é
\frac{\|\vec{a}\times\vec{b}\|}{d}.
Substituindo o resultado do passo anterior:
\frac{\|\vec{a}\times\vec{b}\|}{d}=\frac{\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|}{d}.

Resposta

\dfrac{\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|}{d}

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