Suponha que o vetor unitário
aponta para leste, o vetor unitário
aponta para o norte e o vetor unitário
aponta para cima. Quanto valem os produtos
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Os vetores unitários têm direções:
aponta para leste, aponta para o norte e aponta para cima. - Pede-se o valor do produto escalar (dot product)
.
Passo 2
Relembrando o que é produto escalar e as propriedades que vamos usar (explicadas devagarinho):
- Definição em componentes: se
e , então
Aqui cada
é a componente do vetor nas direções dos eixos
.
- Produto escalar com escalares (linearidade): para escalares
vale
Isto significa que sinais e constantes podem ser “fatorados” para fora do produto.
- Base ortonormal (que é o caso dos vetores
): temos
Isto quer dizer que vetores unitários ao longo de eixos diferentes são ortogonais (produto zero) e com eles mesmos dão 1.
Passo 3
Aplicando a propriedade de escalares ao nosso caso:
Como
, fica
Mas, por ortonormalidade,
. Portanto
Passo 4
Método alternativo (mais “bruto”), escrevendo componentes para fixar a intuição:
-
porque só tem componente na direção . -
porque só tem componente na direção .
Usando a definição em componentes:
Confirma o resultado anterior.
Resposta
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