Suponha que o vetor unitário \hat{i} aponta para leste, o vetor unitário \hat{j} aponta para o norte e o vetor unitário \hat{\mathrm{k}} aponta para cima. Quanto valem os produtos
(-\hat{\mathrm{k}}) \cdot(-\hat{\mathrm{j}})

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Os vetores unitários têm direções: \hat{i} aponta para leste, \hat{j} aponta para o norte e \hat{\mathrm{k}} aponta para cima.
  • Pede-se o valor do produto escalar (dot product) (-\hat{\mathrm{k}})\cdot(-\hat{\mathrm{j}}).

Passo 2

Relembrando o que é produto escalar e as propriedades que vamos usar (explicadas devagarinho):
  • Definição em componentes: se \mathbf{a}=(a_x,a_y,a_z) e \mathbf{b}=(b_x,b_y,b_z), então
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z.
Aqui cada a_x,a_y,a_z,b_x,b_y,b_z é a componente do vetor nas direções dos eixos x,y,z.
  • Produto escalar com escalares (linearidade): para escalares c,d vale
(c\mathbf{a})\cdot(d\mathbf{b}) = (cd)\,(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}).
Isto significa que sinais e constantes podem ser “fatorados” para fora do produto.
  • Base ortonormal (que é o caso dos vetores \hat{i},\hat{j},\hat{k}): temos
\hat{i}\cdot\hat{i}=\hat{j}\cdot\hat{j}=\hat{k}\cdot\hat{k}=1 \quad\text{e}\quad \hat{i}\cdot\hat{j}=\hat{i}\cdot\hat{k}=\hat{j}\cdot\hat{k}=0.
Isto quer dizer que vetores unitários ao longo de eixos diferentes são ortogonais (produto zero) e com eles mesmos dão 1.

Passo 3

Aplicando a propriedade de escalares ao nosso caso:
(-\hat{\mathrm{k}})\cdot(-\hat{\mathrm{j}})=(-1)(-1)\,(\hat{\mathrm{k}}\cdot\hat{\mathrm{j}}).
Como (-1)(-1)=1, fica
(-\hat{\mathrm{k}})\cdot(-\hat{\mathrm{j}})=\hat{\mathrm{k}}\cdot\hat{\mathrm{j}}.
Mas, por ortonormalidade, \hat{\mathrm{k}}\cdot\hat{\mathrm{j}}=0. Portanto
(-\hat{\mathrm{k}})\cdot(-\hat{\mathrm{j}})=0.

Passo 4

Método alternativo (mais “bruto”), escrevendo componentes para fixar a intuição:
  • -\hat{\mathrm{k}}=(0,0,-1) porque só tem componente -1 na direção z.
  • -\hat{\mathrm{j}}=(0,-1,0) porque só tem componente -1 na direção y.
    Usando a definição em componentes:
(0,0,-1)\cdot(0,-1,0)=0\cdot0 + 0\cdot(-1) + (-1)\cdot0 = 0.
Confirma o resultado anterior.

Resposta

0

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