Prove que o número
é divisível por 7 , para todo
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo
,
é múltiplo de 7. Vamos usar aritmética modular (congruências) e o Teorema do Binômio para verificar como cada termo se comporta módulo 7.
Passo 2
Observemos o termo
. Como
, pelo Teorema do Binômio,
Logo,
Além disso, para qualquer
,
portanto
Passo 3
Agora calculamos a soma original módulo 7:
Isso mostra que o número dado é divisível por 7 para todo
.
Resposta
Para todo
,