Prove que o número 8^{n}+2 \cdot 7^{n}-1 é divisível por 7 , para todo n \in \mathbb{N}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo n\in\mathbb{N},
8^{n} + 2\cdot7^{n} - 1
é múltiplo de 7. Vamos usar aritmética modular (congruências) e o Teorema do Binômio para verificar como cada termo se comporta módulo 7.

Passo 2

Observemos o termo 8^{n}. Como 8 = 7 + 1, pelo Teorema do Binômio,
8^{n} = (7 + 1)^{n} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} 7^{k}\,1^{\,n-k} = 1 + \Bigl(\text{múltiplos de }7\Bigr).ú
Logo,
8^{n} \equiv 1 \pmod{7}.
Além disso, para qualquer n\ge1,
7^{n}\equiv 0 \pmod{7},
portanto
2\cdot 7^{n} \equiv 0 \pmod{7}.

Passo 3

Agora calculamos a soma original módulo 7:
8^{n} + 2\cdot7^{n} - 1 \equiv 1 + 0 - 1 \equiv 0 \pmod{7}.
Isso mostra que o número dado é divisível por 7 para todo n.

Resposta

Para todo n\in\mathbb{N},
7 \mid \bigl(8^{n} + 2\cdot7^{n} - 1\bigr).

Exercícios relacionados