Considere os vetores
u=(1raiz3, 1raiz3, 1raiz3)E, v=(-2raiz6, 1raiz6, 1raiz6)E, w=(0,-1raiz2, 1raiz2)E
onde E é uma base positiva de V^3. Encontre a orientação da base F=(u, v, w).

Passo 1

O enunciado dá três vetores em relação a uma base positiva E de V^3:
u=l(tfrac1raiz3,tfrac1raiz3,tfrac1raiz3r)E, v=l(-tfrac2raiz6,tfrac1raiz6,tfrac1raiz6r)E, w=l(0,-tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r)E
Queremos saber se a base F=(vec u,vec v,vec w) é positivamente ou negativamente orientada. Para isso usamos o critério do sinal de det(M), onde M é a matriz cujas colunas são as coordenadas de vec u,vec v,vec w em E.

Passo 2

Formamos a matriz de mudança de base
M = tfrac1raiz3 & -tfrac2raiz6 & 0 [6pt] tfrac1raiz3 & tfrac1raiz6 & -tfrac1raiz2 [6pt] tfrac1raiz3 & tfrac1raiz6 & tfrac1raiz2 ]

Passo 3

Calculamos det(M) expandindo pela primeira linha:
det(M) = 1raiz3 dettfrac1raiz6&-tfrac1raiz2[3pt]tfrac1raiz6&tfrac1raiz2 ;- l(-tfrac2raiz6r) dettfrac1raiz3&-tfrac1raiz2[3pt]tfrac1raiz3&tfrac1raiz2 ]

Passo 4

Calculamos cada menor:
dettfrac1raiz6&-tfrac1raiz2[3pt]tfrac1raiz6&tfrac1raiz2 =1raiz6,1raiz2-l(-1raiz2r)1raiz6 =2raiz6,raiz2,
dettfrac1raiz3&-tfrac1raiz2[3pt]tfrac1raiz3&tfrac1raiz2 =1raiz3,1raiz2-l(-1raiz2r)1raiz3 =2raiz3,raiz2
Substituindo:
det(M) =1raiz3,2raiz6,raiz2 +2raiz6,2raiz3,raiz2 =2raiz3raiz6raiz2+4raiz3raiz6raiz2 =6raiz3cdot6cdot2
Como raiz3cdot6cdot2=raiz36=6, segue que
det(M)=1>0.]

Resposta

A base F=(vec u,vec v,vec w) é positivamente orientada (mesma orientação de E).

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