Sejam E=(e1, e2, a) e F=(e1, e2, b) duas bases de orientação oposta de V^3. Mostre que se b=lambda a, isto é, a e b são paralelos, então necessariamente lambda<0.

Passo 1

O enunciado diz que temos duas bases
E=(e1,e2,a) e F=(e1,e2,b) de V^3 com orientações opostas e que b=lambda,a.
O conteúdo aqui é o conceito de orientação de uma base e como ela se relaciona com o determinante da transformação de mudança de base. Vamos mostrar que esse determinante é lambda e, por terem orientações opostas, ele deve ser negativo, forçando lambda<0.

Passo 2

Defina a transformação linear
T:V^3to V^3
que envia
;T(vec e1)=vec e1,
;T(vec e2)=vec e2
e
;T(vec a)=vec b=lambda,vec a.
Em relação à base E, a matriz de T é diagonal, pois só o terceiro vetor é escalado:
[T]E = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & lambda

Passo 3

O determinante dessa matriz diagonal é o produto dos elementos da diagonal:
det[T]E = 1 cdot 1 cdot lambda = lambda

Passo 4

Por definição de orientação, duas bases têm orientações opostas se, e somente se, o determinante da mudança de base de uma para a outra é negativo. Como E e F têm orientações opostas, temos
det[T]E < 0
Mas det[T]E = lambda. Logo,
lambda < 0

Resposta

lambda<0.

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