Sejam E=(e1, e2, e3) e F=(f1, f2, f3) duas bases de V^3. Dado que E é uma base positiva, determine a orientação da base F em cada um dos casos:
lf1=e1+e2+e3 f2=3 e1-e2+e3 f3=e1-2 e2-e3

Passo 1

O enunciado dá duas bases em um espaço vetorial de dimensão
Para saber se para : sinal positivo mesma orientação; sinal negativo orientação oposta.

Passo 2

Montamos a matriz M cujas colunas são as coordenadas de f1,f2,f3 na base E:
M = 1 & 3 & 1 1 & -1 & -2 1 & 1 & -1

Passo 3

Calculamos det(M) expandindo pela primeira linha:
det(M) =1cdotdet-1 & -2[4pt]1 & -1 -3cdotdet1 & -2[4pt]1 & -1 +1cdotdet1 & -1[4pt]1 & 1
Cada menor vale
det-1 & -21 & -1 =(-1)(-1)-1(-2)=3,
det1 & -21 & -1 =1cdot(-1)-1cdot(-2)=1,
det1 & -11 & 1 =1cdot1-1cdot(-1)=2
Logo
det(M)=1cdot3-3cdot1+1cdot2=3-3+2=2 ]

Passo 4

Como det(M)=2>0, a mudança de base preserva a orientação. Portanto a base F também é positiva.

Resposta

A base F tem orientação positiva.

Exercícios relacionados